Normalverteilung x Treffer. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreichen von 400 Fahrten 52 ihr Ziel zu spät?

Question

Aufgabe:

Ein Transportunternehmen ist bei 10%  der Fahrten auf einer bestimmten Strecke unpünktlich. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreichen von 400 Fahrten 52 ihr Ziel zu spät? (Hinweis: Normalverteilung)

Problem/Ansatz:

Ich habe 0,89% errechnet, dies kommt mir jedoch sehr wenig vor wenn man von einem Erwartungswert von 40 ausgeht. Kann da jemand helfen?

Comments

Doch, das kommt hin.

\(\displaystyle\binom{400}{52}\cdot 0.1^{52}\cdot 0.9^{348} \approx 0.94\%\)

Ich frage mich nur, wieso man hier die Normalverteilung nutzen soll.

---

Weil n groß genug gewählt ist und der Taschenrechner, den wir verwenden dürfen,  \( \begin{pmatrix} 400\\52\\ \end{pmatrix} \) nicht mehr berechnen kann. (Vermute ich)

---

Kannst du vielleicht deinen Rechenweg aufzeigen? Ich habe es, glaube ich, noch nie gesehen, dass man mit der Normalverteilung eine Wahrscheinlichkeit des Typs "P(X=x)" berechnet wird.

---

Ja, aber die WSK in der Normalverteilung für genau einen Wert ist gleich null.

normalpdf etc. sollte man eher als Dichte interpretieren.

---

\( \frac{1}{σ·√2π} \) · e^{-\( \frac{1}{2} \) · (\( \frac{k - μ}{σ} \))2} 

^{da dann die Werte eintagen}

---

Und die Dichtefunktion besitzt für einen einzelnen Wert die Wahrscheinlichkeit null.

---

Das ist mal wieder so eine Aufgabe, die ich so sehr liebe:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreichen von 400 Fahrten [genau / mindestens] 52 ihr Ziel zu spät?

---

Und die Dichtefunktion besitzt für einen einzelnen Wert die Wahrscheinlichkeit null.

Das ist korrekt. Aber dafür macht man ja schließlich die stetige Ergänzung beim Nähern der Binomialverteilung über die Normalvereilung.

Answer 1

Rechnung ist vermutlich richtig. Hier meine Rechnung:

P(X = 52) = Φ((52 + 0,5 - 40) / 6) - Φ((52 - 0,5 - 40) / 6) = Φ(2,0833) - Φ(1,9167) = 0,9814 - 0,9724 = 0,009

Comments

Danke. Mein Kommentar war noch nicht fertig vor deiner Antwort.

Answer 2

Heisst stetige Ergänzung, dass man von 52.5 bis  53.5 integriert?

Ja. Man kann auch den Wert der Wahrscheinlichkeitsdichte an der Stelle x=52 mit der Breite 1 multiplizieren. Beides kann man als Näherung benutzen. Ich benutze eigentlich immer das Integral, weil man dann nur eine Tabelle braucht.

Alternative Lesart:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreichen von 400 Fahrten 52 ihr Ziel zu spät?

liesse sich lesen als:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreichen von 400 Fahrten 52 oder mehr ihr Ziel zu spät?

Ihr lest hier:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreichen von 400 Fahrten genau 52 ihr Ziel zu spät?

Das "genau" müsste mE aber dastehen.

"oder mehr" vielleicht nicht unbedingt. Wenn 100 zu spät sind, sind automatisch auch 52 zu spät.

Comments

Dem stimme ich zu. Siehe dazu auch mein Kommentar zur Frage

https://www.mathelounge.de/641445/normalverteilung-treffer-wahrscheinlichkeit-erreichen?show=641537#c641537

Ich habe trotzdem in meiner Antwort so gerechnet wie der Fragesteller es gerechnet hätte.

Ich persönlich neige dazu nachzufragen wenn nichts dabei steht. Ob es genau oder mindestens heißen soll. Weil ich das jetzt schon oft gehabt habe, dass sich Lehrer eben auch nicht an die Mathematische Audrucksweise halten.

---

Ich lese da auch

dies kommt mir jedoch sehr wenig vor wenn man von einem Erwartungswert von 40 ausgeht.

Für "genau" scheint mir ca. 1% nicht zu wenig zu sein.

Lehrer eben auch nicht an die Mathematische Audrucksweise halten.

Da muss jeder erst mal die Sprache seines Lehrers genau analysieren. Es gibt bestimmt solche, die Mehrfachlesarten vermeiden und andere, die dann bei den Antworten mehrere Antworten als richtig werten. (Maschinelle Lehrer tun das erst nach den ersten Rekursen / Reklamationen).