Vektoren in Koordinatendarstellung

Question

Vorgabe:

Gegeben sei die lineare Abbildung f : R⁴ → R³ mit

M^A_B(f) = \( \begin{pmatrix} 4 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \)

bzgl. der Basen

A = (\( \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0  \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0  \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \))

B = (\( \begin{pmatrix} 1  \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1  \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \))

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren v = \( \begin{pmatrix} 2  \\ 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \) und w = \( \begin{pmatrix} -1  \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Bestimmen Sie mithilfe der Matrix M^A_B(f) die Vektoren f(v) und f(w) in der Koordinatendarstellung bzgl. der Standardbasis des R³.

Wie kann man diese bestimmen? Leider fehlt mir dafür bereits der Ansatz.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bestimme M_{E3}^{E4}(f), wobei f: ℝ^4 → ℝ^3

Stichworte: lineare-algebra,vektoren,abbildungsmatrix,lineare-abbildung

Aufgabe:

Gegeben ist die lineare Abbildung \(f:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^3\) mit $$M_\mathcal{B}^\mathcal{A}(f)=\begin{pmatrix}4 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ bzgl. der Basen $$\mathcal{A}=(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 1  \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})\quad \mathcal{B}=(\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$$

Sei \(E_4\) und \(E_3\) Standardbasen des \(\mathbb{R}^4\) und \(\mathbb{R}^3\). Bestimme \(M^{E_4}_{E_3}(f)\).

Problem/Ansatz:

$$E_4=\left(\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right),\quad E_3=\left(\begin{pmatrix} 1\\ 0  \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 1  \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 0  \\ 1 \end{pmatrix}\right)$$

Was mache ich jetzt mit den Standardbasen damit ich auf die Abbildungsmatrix komme?

Answer 1

Die gegebene Matrix \(M^A_B\) transformiert vom 4-dimensionalen Raum mit der Basis \(A\) in den 3-dimensionalen Raum mit der Basis \(B\). Du benötigst also noch eine Matrix \(M^B_S\), die vom 3-dimensionalen Raum mit der Basis \(B\) in den 3-dimensionalen Raum mit der Standardbasis \(S\) transformiert.

In 3 Dimensionen wechselst du von der Standardbasis \(S\) zur Basis \(B\) mit folgender Transformationsmatrix (einfach die neuen Basisvektoren als Spaltenvektoren eintragen):

$$M^S_B=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\1 & 0 & 2\\1 & 1 & 2\end{array}\right)$$Um von der Basis \(B\) zur Standardbasis zurück zu wechseln, brauchst du die Inverse dieser Matrix:

$$M^B_S=\left(M^S_B\right)^{-1}=\left(\begin{array}{c}2 & 1 & -2\\0 & -1 & 1\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)$$Jetzt hast du alles, was du brauchst:

$$v^\prime=M^B_S\cdot M^A_B\cdot v\quad;\quad w^\prime=M^B_S\cdot M^A_B\cdot w$$

Comments

Vielen Dank!

Wenn ich nun die Abbildungsmatrix M^E4_E3(f) bestimmen möchte, mache ich das auch mit so einer Formel? Und allgemein, wie bestimmt man Abbildungsmatrizen?