Trapezverfahren zur Bestimmung von AWP

Question

Aufgabe:

Die Lösung eines Anfangswertproblems x′ = f (t, x), x(0) = x0 kann numerisch für t_i = h · i mit gegebener Schrittweite h über das Trapezverfahren bestimmt werden:

x_i+1=x_ih/2(f(t_i,x_i)+f(t_i+1,x_i+1)

a) Wie berechnet sich x_i+1 aus x_i, wenn die zu lösende Differentialgleichung x′ = 2tx lautet?

b) Für das Anfangswertproblem x′ =2tx, x(0)= 1/2 bestimme man mit h = 1/4 Näherungen von x( 1/2 ) und x(1) und vergleiche
die Werte mit der exakten Lösung des Anfangswertproblems.

Answer 1

Die Trapezregel lautet

$$ x_{i+1} = x_i + \frac{h}{2} \left( f(t_i,x_i) + f(t_{i+1},x_{i+1}) \right) $$

Es handelt sich um ein implizites Verfahren.

a) x′ = 2tx = f(t,x) also ist f(t,x) = 2*t*x. Das musst du jetzt oben nur einsetzen und nach \( x_{i+1}\) auflösen.

b) Wenn h = 1/4 brauchst du um \( x(0.5) \) zu bestimmen 2 Schritte (2*1/4 = 1/2) berechne also \( x_2 \). Um \( x(1) \) zu bestimmen brauchst du insgesamt 4 Schritte (4 * 1/4 = 1), berechne also \( x_4 \). Verwende dazu den Aufgabenteil a)

Wo liegt da jetzt genau das Problem? 

Comments

bei a) Komme ich mit dem Einsetzen nicht wirklich voran, hättest du da einen Lösungsweg für mich, damit ich den nachvollziehen kann?

LG und Danke

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f(t,x) = 2*t*x

Einsetzen

$$ x_{i+1} = x_i + \frac{h}{2}\left( 2\cdot t_i \cdot x_i + 2 \cdot t_{i+1} \cdot x_{i+1} \right) $$

Umformen:

$$ x_{i+1} - h \cdot t_{i+1} \cdot x_{i+1} = x_i + h \cdot t_i \cdot x_i $$

Und weiter umformen:

$$ x_{i+1} = \frac{1 + h \cdot t_i }{1 - h\cdot t_{i+1}} x_i =  \frac{1 + h^2 \cdot i }{1 - h^2\cdot (i+1)} x_i $$