Implizite Funktionen: Auflösen von Gleichung in einer Umgebung.

Question

Zeige, dass die Gleichung (e^xy) - sin (x+y) =1 in Umgebung des Punktes (π, 0) in der Form y=g(x) aufgelöst werden kann.

Kann mir hier einer helfen bei den Thema implizite Funktionen? Dankeschön.

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Vom Duplikat:

Titel: Auflösbarkeit von Gleichungen

Stichworte: variable,implizite-funktion

Zeige, dass die Gleichung (e^xy) - sin (x+y) =1 in Umgebung des Punktes (π, 0) in der Form y=g(x) aufgelöst werden kann.

Problem/Ansatz

Kann mir hier einer helfen bei den Thema implizierte Funktionen?

Answer 1

Zeige, dass die Gleichung (e^(xy)) - sin (x+y)  = 1 in Umgebung des Punktes (π, 0) in der Form y=g(x) aufgelöst werden kann.

Analog zu

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Beispiel_2

betrachte die partielle Ableitung von

F(x,y) =  e^(xy) - sin (x+y)  -  1   nach y

F_y(x,y) =  x* e^(xy) - cos (x+y) .

an der Stelle  (π, 0) ist das

F_y(π, 0) =  π* e^(0) - cos (π+0)  = π - (-1) = π + 1 ≠ 0.

Also auflösbar.

Comments

Okay aber für y=g(x) muss ich da nicht y nach x umstellen, sodass ich da ein neues Polynom erhalte? Wenn ja wie soll das dann gehen?

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...in Umgebung des Punktes (π, 0) in der Form y=g(x) aufgelöst werden kann...

heßt ja nicht, dass du die Auflösung angeben sollst. Und ein

Polynom ist das garantiert nicht.

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Eine Frage: Muss für die Auflösbarkeit nicht außerdem F(π, 0) = 0 gelten? Wird das nicht auch verlangt?

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F(π, 0) = 0 ist natürlich erfüllt, so wurde ja die Funktion gerade gebildet:

F(π, 0)  =  e^(π*0) - sin (π+0)  -  1

=  e^(0) - sin (π)  -  1

=  1 - 0  -  1   = 0 .