Brauche Hilfe bei Rechenregeln ableiten

Question

Ich brauche unbedingt Hilfe. (Bitte so, dass ich es auch verstehe)


Sei K ein Körper. Leite die folgenden Rechenregeln aus den Körperaxiomen ab:

a) Bezeichne für alle a ∈ K das additive Inverse mit -a. Dann gilt -a = (-1)•a.

b) Gilt für e ∈ K, dass a • e = a für alle a ∈ K, so ist e = 1.

c) Für alle a, b ∈ K gilt (-a) • (-b) = a • b. (Zeige zuerst, dass (-1) • (-1) = 1 gilt)

d) Ist a ∈ K \ 0 und b, c ∈ K mit ab = ac, dann gilt b= c.


Danke.

Answer 1

Ich nehme folgende Körperaxiome an:

K1 (K,+) abelsche Gruppe

K2 (K\{0}, •) abelsche Gruppe

K3 Distributivgesetz

Sei K Körper, a∈K\{0} (Spezialfall a=0 ist langweilig)

Zu a)

Sei (-a) + a=0, insbesondere (-1)+1=0

Betrachte (-1)• a + 1 • a =_K3 ((-1)+1)•a=0 ⇒ (-1) •a=-(1•a)=-a

Zu b)

Sei e∈K mit a•e=a für alle a∈K

Betrachte 1•e=1 und 1•e = e ⇒ e=1

Zu c)

Da K Körper ist existiert k∈K\{0}: (-1)•k=1, addiere auf beiden Seiten k

⇒ -(1)k + k =1+k ⇒_a) (-k)+k=1+k ⇒ 0=1+k ⇒ k=-1

((-1)•a)((-1)• b)=_K2 ((-1)•(-1))•(a•b)=1•a•b=a•b

Zu d)

Sind b,c ∈K: ab=ac

Da K Körper ist existiert ein a^-1∈K: a•a^-1=1

ab=ac ⇔ a^-1ab=a^-1ac ⇔ b=c