LGS mit 3x2-Matrix mit Regel von Cramer lösen

Question

Ich habe ein Gleichungssystem welches folgendermaßen aussieht :

 Bsp :

2x+5y= 3

4x -8y = 5

9x+3y = 2

wie löse ich dieses mit der Regel von Cramer ?

Ich weiss, dass ich einen Hauptminor bestimmen muss und mit diesem beginnen muss, jedoch habe ich keine Ahnung, wie ich fortfahren muss

Comments

Ich habe eine Matrix welche folgendermaßen aussieht :

So sehen Matrizen nicht aus. Überdenke und korrigiere deine Frage.

wie löse ich diese mit der Regel von Cramer ?

Matrizen kann man nicht "lösen". Sie sind einfach nur da.

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ich habe es geändert und hoffe, dass es nun stimmt.

Answer 1

Wie ich mich erinnern kann (und ein Blick zu wikipedia bestätigt mich), ist die Cramerscher Regel eine Regel zum Lösung von Gleichungssystemen, in denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt. Hier hast du aber eine Gleichung mehr.

Du kannst also nur ein Teilsystem aus zwei der drei Gleichungen lösen (von mir aus auch mit Cramer, auch wenn es einfacher geht), und die die erhalten Lösung auf Verträglichkeit mit der dritten Gleichung testen.

Answer 2

Genügt es dir, wenn ich dein LGS ergänze zu:

2x+5y+0z= 3

4x -8y+0z = 5

9x+3y+0z = 2

? 

Comments

aber dann wäre die Determinante 0 und somit könnte ich das System nicht lösen.

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aber dann wäre die Determinante 0 und somit könnte ich das System nicht lösen.

Richtig. Das vorliegende LGS hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen.

Neuer Anlauf: LGS

2x+5y= 3

4x -8y = 5

Würde die Cramersche Regel bei diesem LGS funktionieren? 

was kommt raus?

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ja würde sie, wie müsste ich damit fortfahren ? es handelt sich dabei ja nur um einen Minor des GLS.

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Ja. Dann musst du testen, ob deine Antwort in der 3. Gleichung passt (z.B. mit Einsetzprobe).

Und nachher je nach Kontrollresultat die Lösungsmenge angeben. Je nach Fall ist das dann

die Leere Menge

oder

eine Menge mit unendlich vielen Elementen a la L = {(a,b,t) | t Element R, a und b gemäss der ersten Rechnung}

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Ich habe das jetzt für alle Minoren gemacht, die in der Gleichung existieren, nur leider komme ich damit zu keiner zufriedenstellenden Lösung. Das ganze endet immer damit, dass die Lösung bei 2 Gleichungen funktioniert und bei der dritten nicht.

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bedeutet das, dass das GLS keine Lösung hat, oder mache ich etwas falsch ?

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Dein Gleichungssystem hat keine Lösung.

Du machst also keinen Fehler.

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Ich habe das jetzt für alle Minoren gemacht, die in der Gleichung existieren, nur leider komme ich damit zu keiner zufriedenstellenden Lösung. Das ganze endet immer damit, dass die Lösung bei 2 Gleichungen funktioniert und bei der dritten nicht.

Damit hast du gezeigt, dass die Lösungsmenge die leere Menge ist. (Keine Lösung)

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Alles klar, vielen Dank.

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Geometrische Erklärung:

Die Koordinatengleichungen

2x+5y= 3,

4x -8y = 5 und 
9x+3y = 2

stellen in R³ alle Ebenen dar, die parallel zur z-Achse verlaufen und damit senkrecht auf der xy-Ebene stehen.

Je zwei von ihnen enthalten genau eine gemeinsame Gerade. L beschreibt die Schnittmenge dieser 3 (parallelen) Geraden. Daher die beiden möglichen Fälle: Eine ganze Gerade als Lösungsmenge oder wie hier halt: Lösungsmenge ist die leere Menge.

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Danke für die Erklärung, ich habe aber noch eine Frage bezüglich einer ähnlichen Aufgabe. Was wäre, wenn es sich bei dem GLS um ein GLS mit 2 Zeilen und 3 Unbekannten handelt ? Dann könnte man ja keinen Minor bilden. Ich habe es versucht indem ich eine Zeile anhänge, welche schon im GLS vorkommt, nur leider wird die Determinante dann 0.

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Ich bleibe bei der Interpretation als Ebenengleichungen in Koordinatenform. Du suchst die Schnittmenge von zwei Ebenen. Da gibt es drei Fälle:

1. Es gibt eine Schnittgerade: Lösungsmenge z.B. mit der Parametergleichung dieser Geraden beschreiben.

2. Die Ebenen sind echt parallel: Lösungsmenge: Leere Menge

3. Die beiden Gleichungen beschreiben dieselbe Ebene. Lösungsmenge: Diese Ebene

Rechenweg für 1. Fall:

Eine Spalte weglassen (D.h. eine Koordinate Null setzen, geometrisch dasselbe wie Schnittgerade mit einer Koordinatenebene schneiden) und dann z.B. Cramersche Regel.  Ergibt in der Regel einen ersten Punkt auf der Schnittgeraden.

Dann noch einen zweiten Punkt auf der Schnittgeraden bestimmen. Und Parametergleichung der Schnittgeraden angeben.

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Ich bleibe bei der Interpretation als Ebenengleichungen in Koordinatenform.

Das ist dein gutes Recht, aber die Verwendung dieses unnötig komplizierten Modells ist wahrscheinlich für Schüler, die sowieso schon mit Matheproblemen kämpfen, nicht hilfreich.

Wir haben doch einfach nur drei Geraden in der x-y-Ebene. Die haben einen gemeinsamen Schnittpunkt, oder sie haben ihn nicht.

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Hast du den Kommentar vor meinem Kommentar überhaupt gelesen? Anonym158 ist lange nicht so unwissend wie du denkst.

Da steht:

Danke für die Erklärung, ich habe aber noch eine Frage bezüglich einer ähnlichen Aufgabe. Was wäre, wenn es sich bei dem GLS um ein GLS mit 2 Zeilen und 3 Unbekannten handelt ? Dann könnte man ja keinen Minor bilden.

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Ich habe nicht genau drüber nachgedacht aber ich glaube das ist wie folgt:

Sind die Zeilen der Koeffizientenmatrix linear abhängig gibt es keine oder unendlich viele Lösungen.

Sind die Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix dabei linear abhängig gibt es unendlich viele Lösungen mit 2 Freiheitsgraden.

Sind die Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix dabei linear unabhängig gibt es keine Lösung.

Sind die Zeilen der Koeffizientenmatrix linear unabhängig gibt es unendlich viele Lösungen mit einem Freiheitsgrad.

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Danke für die Ergänzung.

Anonym158 weiss das vermutlich auch. Die Frage war mE, wie man mit der Cramerschen Regel auf die Lösungsmengen kommt und das hatten wir oben fertig diskutiert.

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Ja, ich konnte die Aufgaben erfolgreich lösen und hab die Hausaufgabe eingereicht. Viele dank für die ganze Hilfe