Anschauliche Bedeutung einer Determinante?

Question

Hallo liebe Mathe-Fans,

wir haben in der Vorlesung die Determinante einer Matrix \(n\times n\)-Matrix \(A=(a_{ik})\) wie folgt definiert:

$$\det(A)=\sum_{i=1}^na_{ik}\cdot(-1)^{i+k}\cdot\det(S_{ik})\quad und\quad \det(\alpha)=\alpha\; wenn\; \alpha\in R$$

wobei \(S_{ik}\) die \((n-1)\times(n-1)\)-Matrix ist, die durch Streichen der \(i\)-ten Zeile und \(k\)-ten Spalte entsteht.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe, wie man diese Formel anwenden kann, um eine Determinante zu berechnen. Es ist im Prinzip eine Rekursion mit Abbruchbedingung. Aber welche Bedeutung hat eine Determinante? Was kann ich mir darunter vorstellen? Ich versuche irgendwie anschaulich zu verstehen, was eine Determinante ist und wozu sie nützlich ist.

Bin für jede Erklärung dankbar.

Answer 1

Aloha :)

So wie es Der_Mathecoach geschrieben hat, gilt es auch für höhere Dimensionen. Wenn du \(n\) Vektoren \(\vec v_i\in\mathbb{R}^n\) hast, dann liefert die Determinante \(\det(\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n)\) immer das "Volumen" im \(\mathbb{R}^n\).

Mit diesem Bild vor Augen, sind sofort eigentlich alle Eigenschaften der Determinante klar... z.B:

(a) Eine Matrix \(A\) auf ein Objekt angewendet, vergrößet dessen "Volumen". Die inverse Matrix \(A^{-1}\) angwendet, muss es wieder entsprechend verkleinern:

\(\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}\)

(b) Wird zuerst die Matrix \(B\) und dann die Matrix \(A\) auf ein Objekt angwendet, wird dessen "Volumen" um \(\det(AB)\) vergrößert. Dasselbe passiert aber auch bei umgekehrter Reihenfolge, zuerst \(A\) und dann \(B\) angewendet:

\(\det(AB)=\det(BA)=\det(A)\cdot\det(B)\)

(c) Beim Vertauschen zweier Spalten einer Determinante, ändert sich ihr Vorzeichen, weil man so zwischen einem Links- und Rechtssystem wechselt.

(d) Man kann aus einer Spalte einer Determinante einen Faktor vor die Determinante ziehen, weil man diesen einen Vektor um den Faktor verkürzt und dadurch das "Volumen" um genau diesen Faktor reduziert.

(e) Enthält eine Determinante 2 gleiche Spalten, ist sie \(0\), weil dann kein vollständiges "Volumen" aufgespannt wird.

(f) ...

Achte zukünftig mal darauf, wie klar plötzlich diese ganzen Determinanten-Regeln sind ;)

Answer 2

Der Betrag der Determinante einer 2x2 Matrix kann als Flächeninhalts des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelograms gedeutet werden.

Der Betrag der Determinante einer 3x3 Matrix kann als Rauminhalt des von den Spaltenvektoren aufgespannten Spats gedeutet werden.

Wie das darüber hinaus aussieht weiß ich nicht. Man könnte natürlich vermuten das auch andere Determinanten eine Art Volumen angeben.

Answer 3

Schon Adam Riese kannte Determinanten. Ist A=DET \( \begin{pmatrix} u & v \\ w & z \end{pmatrix} \) so findet er die Nullstelle x_n der Geraden mit der Gleichung \( \frac{z-v}{w-u} \) =\( \frac{y-v}{x-u} \) als x_n=\( \frac{A}{z-v} \) .