Nullstellen von Polynomen

Question

Beweise mit dem Satz von Rolle, dass Polynome vom Grad n höchstens n reelle Nullstellen haben können.

Problem/Ansatz:

Ich bin jetzt erstmal so weit gekommen:

Angenommen p vom Grad n hätte n+1 Nullstellen.

Dann folgt mit dem Satz von Rolle

¥1 aus (x1, x2) mit p´(¥1) = 0

¥2 aus (x2, x3) mit p´(¥2) = 0

¥n aus (xn, xn+1) mit p´(¥n) = 0

Dabei gilt ¥1 != ¥2 != ¥n

Jetzt komme ich allerdings nicht mehr richtig weiter mit dem Beweis.

Vielleicht kann mir ja jemand wieter helfen.

Answer 1

Hallo

da du den Satz von Rolle benutzen sollst, solltest du ihn dir als erstes hinschreiben!

was folgt aus n +1 Nullstellen für die Zahl der  Nullstellen der Ableitung, also eines Polyoms n-1 ten Grades , und dann Induktion rückwärts , bis zum Polynom ax+b.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank schon mal.

Könnte man das ganze so argumentieren?

Wenn p mehr als n nullstellen hätte, hätte nach dem Satz von Rolle (mit f(a)=f(b)=0)

die Ableitung zwischen je zweien dieser Nullstellen jeweils eine Nulstelle,
d.h. insgesamt mehr als n−1 Nullstellen. Die Ableitung hat aber einen Grad, der max. n−1 ist.

Die n-te Ableitung hat dann den Grad 0, müsste dann aber mindestens eine Nullstellen haben.