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Begründung für den Flächeninhalt eines Parallelogramms
Der Flächeninhalt \(A\) eines Parallelogramms, das durch die Vektoren \(u\) und \(v\) im dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3\) aufgespannt wird, lässt sich auf zwei Arten formulieren, die beide auf unterschiedlichen geometrischen und algebraischen Prinzipien basieren.
Erste Formulierung: \(A = |u| |v| \sin(a)\)
Diese Formel nutzt die geometrische Eigenschaft des Parallelogramms. Hierbei bezeichnen \(|u|\) und \(|v|\) die Längen (Beträge) der Vektoren \(u\) und \(v\) und \(a\) den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren. Der Sinus des eingeschlossenen Winkels wird verwendet, um den Anteil von \(v\), der orthogonal zu \(u\) ist, zu bestimmen. Dies entspricht der Höhe des Parallelogramms, wenn \(u\) als Grundseite angenommen wird. Daher entspricht der Flächeninhalt eines Parallelogramms der Grundseite mal der Höhe, was durch die Formel \(A = |u| |v| \sin(a)\) ausgedrückt wird.
Zweite Formulierung: \(A = |u \times v|\)
Diese Formel nutzt das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) der Vektoren \(u\) und \(v\). Das Kreuzprodukt \(u \times v\) liefert einen Vektor, dessen Länge (Betrag) dem Flächeninhalt des von \(u\) und \(v\) aufgespannten Parallelogramms entspricht und der orthogonal zu der durch \(u\) und \(v\) definierten Ebene steht. Die Formel \(A = |u \times v|\) gibt somit den Flächeninhalt direkt in Abhängigkeit der beiden Vektoren \(u\) und \(v\) an.
Zusammenhang zwischen den Formulierungen
Die Äquivalenz zwischen \(A = |u| |v| \sin(a)\) und \(A = |u \times v|\) ergibt sich aus den Eigenschaften des Kreuzprodukts. Das Kreuzprodukt \(u \times v\) hat einen Betrag, der durch \(|u \times v| = |u| |v| \sin(a)\) gegeben ist. Das impliziert, dass die resultierende Länge des Kreuzprodukts Vektors direkt dem Flächeninhalt des Parallelogramms entspricht, da sie das Produkt der Grundseite (\(|u|\)), der Höhe (\(|v| \sin(a)\)) und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels repräsentiert, was wiederum der Definition des Flächeninhalts eines Parallelogramms gleichkommt.
Zusammenfassend:
Die erste Formulierung, \(A = |u| |v| \sin(a)\), basiert auf einer geometrischen Interpretation, die die Seitenlängen und den eingeschlossenen Winkel verwendet, während die zweite Formulierung, \(A = |u \times v|\), eine direkte algebraische Methode über das Kreuzprodukt bietet, die beide zum selben Ergebnis für den Flächeninhalt führen, was die Konsistenz zwischen geometrischen und algebraischen Methoden in der Vektorrechnung zeigt.
