Nullstelle durch Substitution

Question

Ich soll für eine Matheaufgabe die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bei einer Funktion f bestimmen.

f(x)= (1/8) x⁴ - x^{2} - 9/8

Den y-Achsenabschnitt kann man ja ablesen. Dieser ist 9/8. (Oder nicht?)

Für die Nullstellen (x-Achse) dachte ich mir, dass sich die Substitution am besten eignet. Um sicher zu gehen habe ich die Formel bei einem Funktoinsplotter eingefügt, aber ich komme nicht auf das ergebnis von 3 und -3.

Nun zur Frage:

Wie sollte die substitution denn aussehen, bzw. eignet sie sich dafür überhaupt?

Answer 1

y-Achsenschnitt: f(0)=-9/8

x-Achsenschnitt: f(x)=0

substituiere z=x²

f(z)=1/8 z² - z -9/8

setze f(z)=0

⇒ z² - 8z - 9 = 0

⇒ z₁ = 4 + 5 = 9  z₂ = 4- 5 =-1

⇒x₁ = 3 x₂ = -3 x₃ = i x₄ = -i

Comments

das sind Lösungen in den komplexen Zahlen, muss dich nicht interessieren, wenn du es nur über den reellen Zahlen lösen sollst

Answer 2

Dieser ist 9/8. (Oder nicht?)

Nein, der y-Achsenabschnitt ist: minus 9 / 8

Substitution: z = x ²

Dann:

( 1 / 8 ) x ⁴ - x ² - ( 9 / 8 ) = 0

<=> ( 1 / 8 ) z ² - z - ( 9 / 8 ) = 0

Mit 9 multiplizieren:

<=> z ² - 8 z - 9 = 0

<=> z ² - 8 z = 9

Quadratische Ergänzung bestimmen und auf beiden Seiten addieren:

<=> z ² - 8 z + 4 ² = 9 + 4 ² = 25

Linke Seite mit Hilfe der zweiten binomischen Formel als Quadrat schreiben:

<=> ( z - 4 ) ² = 25

Wurzel ziehen:

<=> z - 4 = +/- 5 

<=> z₁ = - 5 + 4 = - 1 oder z₂ = 5 + 4 = 9

Rücksubstitution:

x₁² = z₁ = - 1 <=> x₁ = √ ( - 1 ) (keine reelle Lösung)

x₂² = z₂ = 9

<=> x₂ = +/- √ ( 9 )

<=> x_2,1 = - 3 oder x_2,1 = 3