Gegeben sei ein Polynom...Beweisen Sie folgende Aussagen.

Question

Aufgabe:

  Gegeben sei ein Polynom p(t) = tⁿ + a_n−1tⁿ⁻¹ + ... + a₁t + a₀ mit Koeffizienten in einem Körper K, wobei a₀ ≠ 0 ist. Wir bezeichnen mit V den Vektorraum der beiderseits unendlichen Folgen x = (...,x₋₁,x₀,x₁,x₂,...), die für alle i die Eigenschaft x_i+n + a_n−1x_i+n−1 + ... + a₀x_i = 0 haben, und wir definieren eine lineare Abbildung f : V → V durch f(x) = y, wobei für alle i gilt y_i = x_i+1.

Beweisen Sie folgende Aussagen.

 (a) Durch j(x) = (x₁,...,x_n) ist ein Isomorphismus j : V → Kⁿ gegeben.

(b) Es gilt p(f) = 0.

 (c) Es gibt kein Polynom r(t) ≠ 0 vom Grad kleiner als n mit r(f) = 0.

 (d) Das charakteristische Polynom von f ist p(t).

Problem/Ansatz: