Hi Mathekönig ;),
f(x) = x^4-kx^2
f'(x) = 4x^3-2kx
f''(x) = 12x^2-2k
f'''(x) = 24x
f'(x) = 4x^3-2kx = 0 = 2x(2x^2-k)
Also x = 0 und 2x^2-k = 0
x^2 = k/2
x = ±√(k/2) -> k≥0!
Überprüfen mit f''(x)
f''(0) = -2k -> Für k≠0 gibt es nen Extrempunkt
f''(√(k/2)) ≠ 0 --> Gibt es nen Extrempunkt (k≠0)
f''(-√(k/2)) ≠ 0 --> Gibt es nen Extrempunkt k≠0
Wendepunkt:
f''(x) = 12x^2-2k = 0
6x^2 = k
x^2 = k/6
x = ±√(k/6)
In die dritte Ableitung gesetzt (passt).
Die Zeichnung überlasse ich Dir ;).
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Ortslinie:
Tiefpunkte gibt es für √(k/2) und -√(k/2), solange k>0.
Für √(k/2) exemplarisch:
Tiefpunkte sitzen bei T(√(k/2)|f(√(k/2))) -> T(√(k/2)|-k^2/4)
Ortskurve:
x = √(k/2)
k = 2x^2
-> k in y-Wert des Extrempunktes einsetzen
y = -k^2/4 = -4x^4/4 = -x^4
In der Hoffnung mich nicht vertan zu haben,
Grüße
