Integrale bestimmen. Könnte jemand meine Lösungen korrigieren?

Question

Könnte jemand mir die Aufgaben nachrechnen und falls es falsch ist korrigieren??

Also die Aufgaben lauten:

a) \( \int\limits_{1}^{–1} \) (5x⁴ –3x² – 2) dx  das ist doch "Aufgeleitet" = [x5 – x3 – 2x]¹_-1  

und für 1: 1⁵ – 1³ – 2*1 = – 4 

       für -1: (-1)⁵ – (-1)³ – 2* (-1) = 2

– 4 – 2 = – 6 

Ist das richtig So?

b) \( \int\limits_{–\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \)(4x³ – x +1)dx

= [x⁴ – 1/2 x² + x]

für \( \sqrt{2} \) : 3 + \( \sqrt{2} \)

für – \( \sqrt{2} \) : 3 – \( \sqrt{2} \)

(3 + \( \sqrt{2} \) ) – (3 – \( \sqrt{2} \)) = 2*\( \sqrt{2} \) ≈ 2.828

c) \( \int\limits_{0}^{1} \)(2x + \( \frac{1}{x^2 – 4x + 4} \) )dx

= [x² – x^-1 – 1/8x² + 1/4x]

für 1: 1² – 1^-1 – 1/8 * 1 + 1/4 * 1 = 1/8

für 0: 0² – 0^-1 – 1/8 * 0 + 1/4 * 0 = 0

1/8 – 0 = 1/8 = 0.125

d) \( \int\limits_{3}^{4} \) ( \( \frac{4}{\sqrt{x}} \) – \( \frac{3}{x^2} \) ) dx

= [\( \frac{8}{3} \)x^3/2 + 3x^-1] 

für 4: 8/3 * 4^3/2 + 3 * 4^-1 = 256/12 + 9/12 = 64/3

für 3: 8/3 * 3^3/2 + 3 * 3^-1 = 13.8564 + 3 = 16.8564

64/3 – 16.8564 ≈ 4.477

e) \( \int\limits_{\frac{π}{2}}^{\frac{3π}{2}} \)(2 sin x + 2) dx 

= [2x – cos x]

für \( \frac{3π}{2} \): 2 * 3π/2 – cos (3π/2) = 9.4248 – 0.9966 ≈ 8,428

für \( \frac{π}{2} \): 2 * π/2 – cos (π/2) = 2,142

8.428 – 2.142 = 6.286

f) \( \int\limits_{1}^{1} \)(sin 2x)dx

Hier bin ich mich überhaupt nicht sicher wie die ablauten heißt 

= [ –cos x²] ???

Ich freue mich schon auf alle Antworten :) und vielen Dank im Voraus!!

LG Sharon

Answer 1

zu b): $$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\left(4x^3-x+1\right)\text{d}x \\[1cm] = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}1\:\text{d}x \\[1cm] = \sqrt{2} + \sqrt{2} \\[5mm] = 2\cdot\sqrt{2}.$$ Ich habe also das gleiche Ergebnis wie du, allerdings auf viel kürzerem Wege.

Comments

zu f): Die Integrationsgrenzen sind identisch, also gilt $$\int\limits_{1}^{1} \sin(2x) \text{ d}x = 0 $$ und eine Stammfunktion wird gar nicht benötigt.

Will man doch über eine Stammfunktion gehen, wäre dies eine: $$-\dfrac 12\cdot\cos(2x)$$

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Oh Vielen Dank für ihre Antwort!! :)) ....

Ich verstehe nicht ganz wie man von  f(x) = sin (2x)   zu  F(x) = – \( \frac{1}{2} \) · cos(2x)  kommt... Ich verstehe das sin zu –cos "Aufgeleitet" wird.. aber was geschieht mit das 2x? ^^

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Allgemein gilt $$ \int f(a \cdot x) \text{ d}x = \dfrac 1a\cdot F(a \cdot x) + c $$falls F eine Stammfunktion zu f ist und a≠0 ein konstanter Faktor. Dies lässt sich leicht durch Ableiten der rechten Seite bestätigen.

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Ach so! Ich bekomme bei a) immer 0 raus.. aber laut

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_1%5E-1+(5x%5E4-3x%5E2-2)

sollte ich eine 4 raus bekommen... Ich verstehe das nicht...

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Dann machst du Vorzeichenfehler beim Einsetzen von -1. Beachte: (-1)^4 = 1 aber (-1)^3 = -1 .

Korrektur: Einsetzen von 1 macht dir Probleme: Ausserdem hast du plötzlich die Grenzen vertauscht.

= [x5 – x3 – 2x]_1^-1  

und für 1: 1^{5} – 1^{3} – 2*1 = – 2

      für -1: (-1)5 – (-1)3 – 2* (-1) = 2



Ist das richtig So? Nein

=>  [x5 – x3 – 2x]_1^-1  = 2 - (-2) = 4 

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Wie bist du darauf gekommen hast du mir ein Ansatz ?

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Zu b) hab es mit wurzel ned so

Answer 2

Benutze Wolframalpha um deine Lösungen zu prüfen

a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_1%5E-1+(5x%5E4-3x%5E2-2)

b) https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_-%E2%88%9A2%5E%E2%88%9A2+(4x%5E3-x%2B1)

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