Zeigen Sie, dass A·B = B·A für alle B ∈ M(n×n, K) genau dann, wenn ein λ ∈ K existiert mit A = λEn

Question

Es sei K ein Körper und n ∈ N, sowie A ∈ M(n×n, K). Zeigen Sie, dass A·B = B·A für alle B ∈ M(n×n, K)

genau dann, wenn ein λ ∈ K existiert mit A = λEn

Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

wenn ein λ ∈ K existiert mit A = λEn

==>    A*B = λEn*B = λ*B = B*λ = B*λEn = B*A.

umgekehrt:

Für alle B gilt  A*B = B*A

Also insbesondere für B_i wobei diese an der Stelle i,i eine 1

und sonst alles 0en hat.

Dann folgt aus A*B = B*A , dass A in der i-ten Spalte und in der

i-ten Zeile außerhalb der Hauptdiagonalen nur 0en hat.

Seien a1,a2,....an diese Hauptdiagonalelemente von A und

der Rest 0en. Dann zeigt die Multiplikation mit B, das in der

ersten Zeile alles 1en und sonst 0en hat:

Bei A*B eine Matrix mit alles gleichen Zahlen in der 1. Zeile

und bei B*A eine Matrix mit a1, a2, …., an in der 1. Zeile.

Also sind die Hauptdiagonalelemente alle gleich.   q.e.d.