doch, im Prinzip kannst du das so hinschreiben. Die Folge genügt ja wegen
\( a_n = \prod_{i=1}^{n} \frac{i}{n} = \frac{n!}{n^n} \)
der Begingung
\( a_n > a_{n+1} \),
ist also streng monoton fallend, aber durch 0 auch nach unten beschränkt, folglich konvergiert sie.
Der Grenzwert beträgt 0, was man dadurch einsieht, dass es für beliebige \( \epsilon > 0 \) ein \( n \) gibt, sodass \( \frac{1}{n} < \epsilon \) ist.
Da in dem Produkt alle Faktoren \( \leq 1 \) sind, wählt man zu gegebenem \( \epsilon > 0 \) jenes \( a_n \), für das \( \frac{1}{n} < \epsilon \) gilt und folglich ist das gesamte Produkt \( a_n = \prod_{i=1}^{n} \frac{i}{n} < \epsilon \).
MfG
Mister
