Untersuchen Sie jeweils (an) n element N auf Konvergenz und bestimmen Sie den Grenzwert

Question

$$ \left. \begin{array} { c } { a _ { n = \sqrt { ( 9 n ^ { 2 } + 2 n + 1 ) } ( - 3 ) } } \\ { a _ { n } = \sqrt [ 10 ] { 1 + 3 n ^ { - 4 } + n ^ { - 9 } - 1 } } \end{array} \right. $$

Ich weiß nicht, wie das mit Wurzeln geht. Bei der ersten Aufgabe sind die Klammern eigentlich nicht da, denkt sie euch weg und die -3 kommt einfach nach +1, über der -3 ist aber kein Wurzelreichen. Das gilt auch für die zweite Aufgabe mit der -1 am Ende.

Answer 1

Beim ersten Teil divergiert die Folge. Die folgende Rechnung zeigt, dass sie für n-> ∞ den Wert jeder natürlichen Zahl übersteigt.

$$ \left. \begin{array} { l } { a _ { n } = \sqrt { 9 n ^ { 2 } + 2 n + 1 } - 3 } \\ { a _ { n } = n \sqrt { 9 + \frac { 2 } { n } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } - 3 > n · 3 - 3 } \end{array} \right. $$

2.Teil. Beachte: Neg. Exponenten sind Abkürzungen für Brüche. Hier kann man den Grenzwert wie folgt berechnen:

$$ { a }_{ n }\quad =\quad \sqrt [ 10 ]{ 1+3{ n }^{ -4 }+{ n }^{ -9 } } -\quad 1\\ \lim \limits_{ n->\infty  }({ a }_{ n })\quad =\quad \lim \limits _{ n->\infty  }\quad \sqrt [ 10 ]{ 1+3{ n }^{ -4 }+{ n }^{ -9 } } -\quad 1\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\quad \sqrt [ 10 ]{ 1 } -\quad 1\quad =\quad 0 $$