Ich nehme mal an, dass entsprechende Eigenschaften von sin
bekannt sind und auch cos(x) ' = - sin(x). Dann könnte es so gehen:
(a) Die Funktion cos x ist streng monoton fallend auf dem Intervall [0,π].
sin ist im Inneren von dem Intervall [0,π] positiv, also ist
cos(x) ' = - sin(x) dort negativ und deshalb cos x ist streng monoton fallend.
(b) Also ist das Bild von cos x auf [0,π] = [ cos(π) , cos(0) ] = [−1,1].
(c) Beschließen Sie, dass die Umkehrfunktion von cos x existiert auf dem Intervall [−1,1].
Stimmt, weil eine streng monotone Funktion immer umkehrbar ist.
Diese Funktion ist mit arccos bezeichnet.
(d) Bestimmen Sie die Ableitung von arccos. Nach dem Satz über die Ableitung der
Umkehrfunktion ist arccos differenzierbar auf [-1;1] und es gilt ja
arccos ( cos ( x ) ) = x
nach der Kettenregel also auch durch Ableiten beider Seiten
arccos ' ( cos ( x ) ) * - sin(x) = 1
arccos ' ( cos ( x ) ) = -1 / sin(x) .
Sei nun z = cos(x) dann ist wegen cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1
sin(x) = ±√ ( 1 - cos(x)^2 ) = ±√ ( 1 - z^2 ) .
Und damit arccos ' ( z ) = -1 / ±√ ( 1 - z^2 ) .
Wegen der Monotonie ist die Ableitung nie positiv, also
gilt im Nenner immer das + und somit
arccos ' ( z ) = -1 / √ ( 1 - z^2 ) .
