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Aufgabe:

   Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften der Funktion cos x .

(a) Die Funktion cos x ist streng monoton fallend auf dem Intervall [0,π].

 (b) Das Bild von cos x auf [0,π] ist [−1,1].

 (c) Beschließen Sie, dass die Umkehrfunktion von cos x existiert auf dem Intervall [−1,1]. Diese Funktion ist mit arccos bezeichnet.

 (d) Bestimmen Sie die Ableitung von arccos.


Problem/Ansatz:

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....

Wie ist denn cos(x) definiert?

Keine Idee?


....

1 Antwort

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Ich nehme mal an, dass entsprechende Eigenschaften von sin

bekannt sind und auch   cos(x) ' = - sin(x).  Dann könnte es so gehen:

(a) Die Funktion cos x ist streng monoton fallend auf dem Intervall [0,π].

sin ist im Inneren von dem Intervall [0,π] positiv, also ist

  cos(x) ' = - sin(x) dort negativ und deshalb  cos x ist streng monoton fallend.

(b)  Also ist das  Bild von cos x auf [0,π]  = [  cos(π) , cos(0)  ] =  [−1,1].


 (c) Beschließen Sie, dass die Umkehrfunktion von cos x existiert auf dem Intervall [−1,1].

Stimmt, weil eine streng monotone Funktion immer umkehrbar ist. 

Diese Funktion ist mit arccos bezeichnet.  

 (d) Bestimmen Sie die Ableitung von arccos.   Nach dem Satz über die Ableitung der

Umkehrfunktion ist arccos differenzierbar auf [-1;1] und es gilt  ja

                arccos (   cos ( x ) )    = x

nach der Kettenregel   also auch durch Ableiten beider Seiten

                  arccos ' (   cos ( x ) )  *  - sin(x)    = 1

                    arccos ' (   cos ( x ) )   = -1 /  sin(x)   .

Sei nun z = cos(x) dann ist wegen cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1

                      sin(x) = ±√ ( 1 - cos(x)^2 ) =  ±√ ( 1 - z^2 ) .

Und damit    arccos ' (  z )   = -1 /  ±√ ( 1 - z^2 ) .

Wegen der Monotonie ist die Ableitung nie positiv, also

gilt im Nenner immer das + und somit

            arccos ' (  z )   = -1 / √ ( 1 - z^2 ) .



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