Verständnis - Ein einziger Vektor linear Unabhängig - macht das überhaupt Sinn?

Question

Gedanke:

Eine Menge die nur den Vektor v enthält
, wobei v nicht der Nullvektor ist, ist immer linear unabhängig.

Weil die Linearkombination = 0 von v, also 

λ*v = 0 

Nur dann möglich ist, wenn 
λ = 0, 
denn v ≠ 0 gilt ja bereits. 



Die Menge, die den Nullvektor enthält
ist immer linear abhängig, weil die Linearkombination = 0, also 

μ*0 = 0

erfüllt ist wenn μ beliebig ∈ ℝ, also insbesondere auch wenn μ≠0 ist.
⇒ Die Menge die nur den Nullvektor enthält ist linear abhängig.


Frage:
Machen diese Überlegungen überhaupt Sinn,
denn es heisst ja "zueinander" linear unabhängig. Und wenn ich einen einzelnen Vektor betrachte, frage ich mich ob es eben deswegen überhaupt Sinn macht sich bei solchen Mengen über lineare abhängigkeit unabhängigkeit zu reden. Da ich keinen zweiten Vektor zum Vergleichen habe.

Answer 1

Eine Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur auf triviale Weise aus den Vektoren der Menge kombiniert werden kann.

Wenn man diese Definition verwendet, dann gibt es auch eine Vektormenge mit einem Element, aus der/dem der Nullvektor nur trivial kombinierbar ist.

Answer 2

Machen diese Überlegungen überhaupt Sinn, denn es heisst ja "zueinander" linear unabhängig

Naja in dem Fall wenn du nur einen Vektor hast gibt es kein Zueinander. Aber es macht schon Sinn. Unsere Lehrerin hat immer gesagt:

n linear unabhängige Vektoren spannen einen n-dimensionalen Raum auf.

Wenn du einen linear unabhängigen Vektor hast dann ist das eine gerade. Der Nullvektor ist in dem Fall eben linear abhängig und der spannt auch keine Gerade auf.

Zwei linear unabhängige Vektoren bilden also eine Ebene usw. Du siehst es macht schon sinn das so schön zu definieren, denn dann macht plötzlich alles Sinn und ist so schön einfach.

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Danke dir viel mals !