Summe von Unterräumen (Englisch) - Wo liege ich falsch?

Question

Definition: sum of subsets $$\begin{array}{l}{\text { Suppose } U_{1}, \ldots, U_{m} \text { are subsets of } V . \text { The sum of } U_{1}, \ldots, U_{m}, \text { denoted }} \\ {U_{1}+\cdots+U_{m}, \text { is the set of all possible sums of elements of } U_{1}, \ldots, U_{m}} \\ {\text { More precisely, }} \\ {\qquad U_{1}+\cdots+U_{m}=\left\{u_{1}+\cdots+u_{m} : u_{1} \in U_{1}, \ldots, u_{m} \in U_{m}\right\}}\end{array}$$

Example: 
Suppose that $$U=\left\{(x, x, y, y) \in \mathbf{F}^{4} : x, y \in \mathbf{F}\right\}$$ and $$W=\left\{(x, x, x, y) \in \mathbf{F}^{4} : x, y \in \mathbf{F}\right\}.$$ Then, $$ U+W=\left\{(x, x, y, z) \in \mathbf{F}^{4} : x, y, z \in \mathbf{F}\right\}$$ as you should verify. 



Problem: 

Ich habe für U + W etwas andere erhalten und zwar, $$ U+W=\left\{(2x, 2x,2y, y+z) \in \mathbf{F}^{4} : x, y, z \in \mathbf{F}\right\}$$

Weil ich stur nach der Definition oben (sum of subsets)  die Summe von einem Vektor u aus \(U\) mit einem Vektor w aus \(W\) gebildet habe:

u + w = \( \begin{pmatrix} x\\x\\y\\y \end{pmatrix} \) +  \( \begin{pmatrix} x\\x\\y\\z \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} x+x\\x+x\\y+y\\y+z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x\\2x\\2y\\y+z \end{pmatrix}  \Longrightarrow U+W = \{ \begin{pmatrix} 2x\\2x\\2y\\y+z \end{pmatrix} \in  \mathbf{F}^{4} : x,y,z \in  \mathbf{F} \}. \)  



Frage:
Was habe ich falsch gemacht ?  

Answer 1

Was habe ich falsch gemacht ? 

Nichts.

Überlege dir aber noch, warum

$$ \left\{(x, x, y, z) \in \mathbf{F}^{4} : x, y, z \in \mathbf{F}\right\} = \left\{(2x, 2x,2y, y+z) \in \mathbf{F}^{4} : x, y, z \in \mathbf{F}\right\} $$

gilt.

Comments

Okay, Wenn also 

A \(:= \left\{(x, x, y, z) \in \mathbf{F}^{4} : x, y, z \in \mathbf{F}\right\}\) und 
B \(:= \left\{(2 x, 2 x, 2 y, y+z) \in \mathbf{F}^{4} : x, y, z \in \mathbf{F}\right\}\) 
ist. 

Dann ist A = B  wenn, 
A ⊆ B ∧ B ⊆ A. 

Muss das gelten ? 
Meinst du das  ?

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Falls schon sehe ich dass

A ⊆ B

Aber ich sehe nicht ein dass

 B ⊆ A. 


Kannst du mir mit  hier weiterhelfen ? 

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Muss das gelten ? 
Meinst du das  ?

Das wäre eine Möglichkeit es zu zeigen.

Falls schon sehe ich dass

A ⊆ B

Sei (x,x,y,z) in A, da F ein Körper ist, gilt $$ \tilde x := 2^{-1} x \in \boldsymbol{F}\\\tilde y := 2^{-1}y \in \boldsymbol{F}\\\tilde z := z - \tilde y\in\boldsymbol{F}$$
Es ist
$$(x,x,y,z)=(2\tilde x,2\tilde x, 2\tilde y, \tilde y + \tilde z) \in B $$

Aber ich sehe nicht ein dass

B ⊆ A.

Gleiches Prinzip:
Sei (2x,2x,2y,y+z) in B, dann gilt:
$$ \tilde x := 2 x \in \boldsymbol{F}\\\tilde y := 2 y \in \boldsymbol{F}\\\tilde z := z + y\in\boldsymbol{F}$$
Und damit
$$ (2x,2x,2y,y+z)=(\tilde x,\tilde x,\tilde y,\tilde z)\in A$$

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Achso! Das Prinzip ist, ich könnte mir überlegen, um zu zeigen, dass:$$ \left(\begin{array}{l}{x} \\ {x} \\ {y} \\ {y}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}{2 x'} \\ {2 x'} \\ {2 y'} \\ {y'+z'}\end{array}\right) $$
ist indem ich schaue, ob es (1.) auf der rechten Seite der Gleichung ein x bzw. y oder z gibt, das ich wählen kann damit ich den selben Vektor wie links erhalte. Wenn ich so ein x bzw. y oder z gefunden habe, muss ich nur schauen ob es (2.) überhaupt Sinn macht es so zu wählen, also ob es überhaupt in dieser Struktur exisiteren kann.

Ich erinnere mich:
Je zwei Vektoren sind gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind.
Gleichzeitig frage ich mich, wie muss \(x'\) gewählt werden damit die Komponenten gleich sind.

Ich vergleiche die Komponenten und löse nach der Variabel x' auf:$$ x = 2x' \Rightarrow x' = \frac{1}{2}x.\\ x = 2x' \Rightarrow x' = \frac{1}{2}x.\\ y = 2y' \Rightarrow y' = \frac{1}{2}y. \\ z = y+z' $$ | Frage(1): Wieso betrachte hier nur das z' wieso betrachte ich nicht auch y'?

Denn z = y+z' wenn ich für z' folgendes einsetze: z' = z-y
        z = y +(z-y)
        z = y + z -y
        z = z.

Also muss ich für z'= z-y einsetzen, nur so sind die Komponenten gleich.

Frage(2):
Aber hätte ich nicht auch sagen können, dass ich in der untersten Komponente y = 0 setze? Oder ist y' = 1/2y bereits reserviert da ich das so in der dritten Komponente bereits gesagt habe?

Existieren meine Werte, die ich durch Vergleich und Umstellen bekommen habe überhaupt im Körper F ?
1*x' = 1/2*x

Naja, wenn F ein Körper ist, existiert sien multiplikatives Inverstes.
Wenn ich 1 habe, so muss 1/2 ebenfalls in F liegen.
Analog mit y.

Letzte Komponente.
z' = z-y.

Da Ein Körper bezüglich Addition abgeschlossen ist, existiert eine Zahl b mit
b = b-a.

Richtig?

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Du startest mit dem Ansatz:

$$ \left(\begin{array}{l}{x} \\ {x} \\ {y} \\ {y}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}{2 x'} \\ {2 x'} \\ {2 y'} \\ {y'+z'}\end{array}\right) $$

und vergleichst die Komponenten und löst zu den gestrichenen Variablen auf.

$$ x = 2x' \Rightarrow x' = \frac{1}{2}x.\\ x = 2x' \Rightarrow x' = \frac{1}{2}x.\\ y = 2y' \Rightarrow y' = \frac{1}{2}y. \\ z = \colorbox{red}{y'}+z' \textcolor{blue}{ \implies z' = z - y' = z - \frac{1}{2}y}$$

Du hast in der letzten Gleichung also sehr wohl z' und y'.

zu Frage 2:

Wenn du nach den gestrichenen Variablen auflöst interessiert dich ja, welche Werte diese für gegebene Werte x,y,z annehmen. Du kannst da dann nicht einfach irgendetwas beliebiges für y einsetzen.

Deine Überlegungen zu den Körpereigenschaften sind richtig.