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Hallo,

ich hätte eine kurze Frage:

Stimmt die folgende Aussage?:

U und V sins lineare Unterräume in R^n und     U + V = {u + v : u aus U, v aus V} ist die Summe dieser beiden linearen Unterräume. Es gilt folgende Aussage:

U + V = U gilt, genau dann, wenn V = {0} ist, also V der Nullraum ist.

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Hallo :-)

Die Aussage stimmt nicht. Betrachte als Beispiel die Untervektorräume \(U,V\subseteq \R^n\) durch:

\(U=\text{span}(e_1,...,e_n)\) und \(V=\text{span}(e_1)\), wobei hier \(e_1,...,e_n\in \R^n\) die Standardbasisvektoren vom \(\R^n\) beschreiben. Dann gilt sofort \(U+V=U\). Das sieht man so:

Zu ,,\(\subseteq\)". Sei \(x\in U+V\) beliebig, d.h. es gilt \(x=a+b\) für \(a\in U\) und \(b\in V\). Dann hat man die eindeutigen Darstellungen \(a=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot e_k \) und \(b=\beta\cdot e_1\) und man erhält

\(x=a+b=(\alpha_1+\beta)\cdot e_1+\sum\limits_{k=2}^n \alpha_k\cdot e_k\in U\).

Also folgt \(U+V\subseteq U\).


Zu ,,\(\supseteq\)". Nun sei \(r\in U\) beliebig, d.h. man hat die eindeutige Darstellung \(r=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot e_k\). Damit erhält man insbesondere \(r=g+f\) mit \(f=\frac{1}{2}\cdot \alpha_1\cdot e_1\) und

\(g=\frac{1}{2}\cdot \alpha_1\cdot e_1+\sum\limits_{k=2}^n \alpha_k\cdot e_k\), wobei \(g\in U\) und \(f\in V\) gilt. Damit folgt \(U\subseteq U+V\).

Insgesamt folgt also die Gleichheit \(U+V=U\).

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Danke! :)

Ich hätte noch eine Frage.

Es gibt ja den Unterschied zwischen Unterräumen und Linearen Unterräumen. Stimmt die Aussage, das jeder lineare Unterraum, das Nullelement besitzen muss (Nullelement: Nullvektor, Nullabbildung, Null etc…)?


Also Beispiel: Ein Unterraum U enthält die Nullabbildung nicht, ist es dann ein linearer Unterraum?

Üblicherweise werden diese beiden Begriffe als Synonym verwendet. Du kannst mittels der Axiome zu Untervektorräumen zeigen, dass sie den Nullvektor enthalten. Diese lauten ja für einen Untervektorraum \(U\subseteq V\) eines Vektorraumes \(V\):

1.) \(U\neq \{\}\)

2.) Für alle \(x,y\in U\) und alle \(t\in \mathbb{K}\):

\(x+y\in U\) und \(t\cdot x \in U\).

Jetzt nehmen wir mal einen Untervektorraum \(U\subseteq V\) her.

Aus 1.) folgt die Existenz von einem Vektor \(v\in V\) mit \(v\in U\).

Mit 2.) gilt dann auch \(-v=(-1)\cdot v\in U\) und damit auch \(0_U=v-v=v+(-v)\in U\).

Manchmal wird dann auch gerne diese Eigenschaft zu Untervektorräumen in die Definition mit aufgenommen, denn du kannst auch dann anstelle der Nichtleer-Eigenschaft mittels der Eigenschaft \(0_U\) auch sofort \(U\neq \{\}\) folgern.


Es gibt aber auch sogenannte verschobene (affine) Untervektorräume, die dann den Nullvektor nichtmehr enthalten.

Alles klar. Dankeschön

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Die Aussage stimmt nicht. Es gilt für Unterräume zum Beispiel immer

\(U+U = U\)

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