Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen. (Summe der Unterräume)

Question

Sei U = ∑^r_i=1 U_i eine Summe der Unterräume U₁,...,U_r des K-Vektorraums V.

Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:(a) Jedes b ∈ U hat eine Darstellung b =  ∑^r_i=1 b_i mit eindeutig bestimmten Vektoren b_i ∈ U_i, r = 1,.....,r. (b) Ist b_i ∈ U_i für 1 ≤ i ≤ r und gilt ∑^r_i=1 b_i = 0, so ist b_i = 0 für alle i ∈ {1,...,r}. (c) Für p = 1,...,r gilt U_p ∩ ∑_i≠p U_i = {0}.