Lineare Unterräume zeigen, dass V+W=V ⇐⇒ W⊂V

Question

V+W=V ⇐⇒ W⊂V wie zeige ich die Äquivalenz ? W muss ja eigentlich ein Nullraum sein, oder?

Comments

Was ist ein(e) Müllerin?

---

Ups meinte nullraum

---

EDIT: Habe aus deinem Satz Folgendes gemacht: "W muss ja eigentlich ein Nullraum sein, oder?  " 

Warum denn? 

Man kann doch z.B. Zahlenräume erweitern.

N c Z c Q c R c C  (Denke dir die richtigen Symbole für die Zahlenmengen und Teilmenge) 

Ob die als Vektorräume taugen sei mal dahingestellt. 

Answer 1

Seien V, W ℝ-Vektorräume , dann gilt:

V+W=V ⇐⇒W ⊂V

"==>"  Sei  V+W=V und w ∈ W

da V jedenfalls den Nullvektor enthält folgt

==>    0+w ∈ V+W   und da V+W=V

==>   w ∈ V.

Insgesamt also :  Wenn  w ∈ W    dann   w ∈ V.

also  W⊂V .

umgekehrt:  "<==" .  Sei  W ⊂V .

Die Gleichung  V+W=V wird gezeigt durch

1.  z ∈ V+W ==>  z ∈ V   und  2.   z ∈ V  ==>  z ∈ V+W

1. Sei also  z ∈ V+W ==>

es gibt x ∈ V und y ∈ W mit  z = x+y

Da   W ⊂V  ist auch x ∈ V und somit

x und y beide aus V und damit auch deren Summe.

Also gilt z ∈ V,

2. Sei z ∈ V . Da  0 ∈ W folgt  z + 0 ∈ V+W

also  z ∈ V+W