Hallo :-)
Die Aussage stimmt nicht. Betrachte als Beispiel die Untervektorräume \(U,V\subseteq \R^n\) durch:
\(U=\text{span}(e_1,...,e_n)\) und \(V=\text{span}(e_1)\), wobei hier \(e_1,...,e_n\in \R^n\) die Standardbasisvektoren vom \(\R^n\) beschreiben. Dann gilt sofort \(U+V=U\). Das sieht man so:
Zu ,,\(\subseteq\)". Sei \(x\in U+V\) beliebig, d.h. es gilt \(x=a+b\) für \(a\in U\) und \(b\in V\). Dann hat man die eindeutigen Darstellungen \(a=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot e_k \) und \(b=\beta\cdot e_1\) und man erhält
\(x=a+b=(\alpha_1+\beta)\cdot e_1+\sum\limits_{k=2}^n \alpha_k\cdot e_k\in U\).
Also folgt \(U+V\subseteq U\).
Zu ,,\(\supseteq\)". Nun sei \(r\in U\) beliebig, d.h. man hat die eindeutige Darstellung \(r=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot e_k\). Damit erhält man insbesondere \(r=g+f\) mit \(f=\frac{1}{2}\cdot \alpha_1\cdot e_1\) und
\(g=\frac{1}{2}\cdot \alpha_1\cdot e_1+\sum\limits_{k=2}^n \alpha_k\cdot e_k\), wobei \(g\in U\) und \(f\in V\) gilt. Damit folgt \(U\subseteq U+V\).
Insgesamt folgt also die Gleichheit \(U+V=U\).
