a)
Zuerst einmal die absolute Konvergenz: Betrachte \(\sum_{n=1}^{\infty}{\left \lvert \frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n!}}\right \rvert}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}}\). Hierbei ist \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) eine divergente Minorante, da:$$\frac{1}{n}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \Leftrightarrow \sqrt[n]{n!}\leq n \Leftrightarrow n!\leq n^n$$ Also diverigert die Reihe absolut. Sie konvergiert allerdings, wie schon von dir gesagt, nach dem Leibnizkriterium bedingt. Alllerdings reicht es nicht aus, dass \(\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\) eine Nullfolge ist. Du musst darüber hinaus zeigen, dass die Folge monoton ist.
b)
Verwende das Quotientenkriterium:$$\left \lvert \frac{a_{n+1}}{a_n}\right \rvert=\frac{\frac{(n+1)!}{(n+2)^{n+1}}}{\frac{n!}{(n+1)^n}}=\frac{(n+1)!\cdot (n+1)^n}{(n+2)^{n+1}\cdot n!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+1}} \overset{n\to \infty}\longrightarrow \frac{1}{e}<1$$
