Überprüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz und berechnen Sie die Summe.

Question

Überprüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls die Summe:

\( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{4(-2 k)_{5}(k+1)}{(-5)^{k}} \)

absolut konvergent

\( s=\frac{5}{272} \)

Answer 1

Erst mal die Summanden betrachten:

4 ^-2k *5 ^k+1 / (-5)^k    erst mal mit 5^k kürzen

=(-1)^k * 5  * 4 ^-2k 

=(-1)^k * 5  * (1/16) ^k

= 5  * (-1/16) ^k

Das ist eine geometrische Reihe mit dem Vorfaktor 5 und q=(-1/16)

Die ist sowohl absolut als auch mit Vorzeiochen konvergent .

Allerdings beginnt sie ja erst bei k=2 also etwa so  5/256 - 5/16^3 + 5/16^4 etc.

also kannst du 5/256 ausklammern und hast

5/256  *  ( 1 - 1/16 + 1/16^2 - ......   )  

 und mit der Formel   s  =  1  / (1 -q) gibt es in der Klammer 16/17, also insgesamt
5/256  * 16/17 = 5 / 272

Answer 2

Du kannst 5^{k+1} = 5^k*5 schreiben.

Dann kannst du deinen Bruchn mit 5^k kürzen.

Dann hast du nur noch -5/ (4^{2k})

Und die Summe davon konvergiert ja offensichtlich.