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kompliziertes Integral

Hallo liebe Experten,

ich rechne schon sehr lange an der Lösung folgenden Integrals:

$$\int_{-2}^2\left(x^5\cos^3\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^2}\,dx$$

Unser Professor sagte, das Integral sei sehr einfach. Ich stehe aber irgendwie vor einer Wand. Hat jemand vielleicht einen Tip für mich?

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Vielleicht hilft ausmultiplizieren und aufteilen des Integrals.

Hast du geschaut, ob du die Symmetrie des ersten Summanden ausnützen kannst?

1 Antwort

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Aloha :)

Zerlege das Integral in 2 Integrale:

$$\int\limits_{-2}^2\left(x^5\cos^3\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^2}\,dx$$$$=\int\limits_{-2}^2\underbrace{x^5\cos^3\left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{4-x^2}}_{=:f(x)}\,dx+\int\limits_{-2}^2\underbrace{\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}}_{=:g(x)}\,dx=\pi$$Das Ergebnis \(\pi\) kannst du wie folgt begründen.

Schau dir den ersten Integranden mal genau an. Er ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, denn:

$$f(-x)=(-x)^5\cos^3\left(\frac{-x}{2}\right)\sqrt{4-(-x)^2}=-x^5\cos^3\left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{4-x^2}=-f(x)$$Das Integral von \(f(x)\) in \([-2;0]\) ist daher bis auf das Vorzeichen genauso groß wie das Integral von \(f(x)\) in \([0;2]\). In Summe ist das gesamte erste Integral \(=0\).

Das zweite Integral kannst du sofort hinschreiben, denn \(\sqrt{4-x^2}\) beschreibt für \(x\in[-2;2]\) einen Halbkreis mit Radius 2 oberhalb der x-Achse. Seine Fläche ist \(\frac{1}{2}\pi\cdot2^2=2\pi\). Mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) vor der Wurzelfunktion ergibt sich schließlich der Wert \(\pi\) für das zweite Integral.

Avatar von 152 k 🚀

Oh Mann, das ist völlig einleuchtend, wenn man es so liest. Aber darauf muss man erstmal kommen... Vielen Dank für die schnelle Antwort :)

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