Partielle Ableitung berechnen von f(x,y)=x^y*sin(xy)

Question

Aufgabe:

Berechne für \( f(x,y) = x^y * sin(xy) \) die partiellen Ableitungen \( \frac{∂f}{∂x} \), \( \frac{∂f}{∂y} \), \( \frac{∂}{∂y} (\frac{∂f}{∂x}) \) und \( \frac{∂}{∂x} (\frac{∂f}{∂y}) \). Vergleiche \( \frac{∂}{∂y} (\frac{∂f}{∂x}) \) und \( \frac{∂}{∂x} (\frac{∂f}{∂y}) \) auf Gleichheit.

Problem/Ansatz:

Ich soll hier die partielle Ableitung berechnen. Ich komme aber mit den ganzen ∂... durcheinander. Was ist was? Das bringt mich schon den ganzen Tag durcheinander und komme nicht voran. Könnt ihr mir bitte helfen?

Answer 1

\( \frac{∂f}{∂x} \) bedeutet, das Du die Funktion nach x ableiten sollst.Dabei wird y wie eine Konstante betrachtet

(mittels Produktregel)

z.B.

Comments

Ok, soweit verstanden. Aber was ist mit der Ableitung von sin (xy)?

Ist das nicht cos (x) wenn y eine konstante ist?

Edit: Sorry, habe das y davor nicht gesehen.

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Für \( f_y(x,y) \) habe ich folgendes raus:

\( f_y(x,y) = (ln x) x^y sin(xy) + x^{y+1} cos(xy) \)

Ist das korrekt?

Wenn ja, was muss jetzt tun?

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Ja , das stimmt. Jetzt must Du dieses letzte Ergebnis nach x ableiten und mein gerechnetes Ergebnis nach y ableiten

und dann beide Ergebnisse vergleichen.

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Ist das eine Art Zusammenfassung? Macht man das generell so bei partiellen Ableitungen?

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Nun ja die Aufgabe lautet eben so.

Aber es gilt allgemein: f_xy=f_yx

(Satz von Schwarz)