Aufgabe:
Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem:
$$\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x \cdot y}, \quad y(1)=0 $$
Hinweis: Benutzen Sie dazu die Substitution \( z = \frac{y}{x} \)
Ansatz:
Dazu habe ich gerechnet: (Pi und x im Exponenten sollen 2er sein)
$$y ^ { \prime } = \frac { x ^ { \pi } } { x \cdot y } + \frac { y ^ { x } } { x \cdot y }$$
$$\left. \begin{array}{l}{ = \frac { x } { y } + \frac { y } { x } }\\{ y ^ { \prime } = ( \frac { y } { x } ) ^ { - 1 } + \frac { y } { x } }\end{array} \right.$$
Dann habe ich die Substitution ausgeführt:
$$\left. \begin{array} { l } { u = \frac { Y } { x } } \\ { y = u \cdot x } \\ { y ^ { \prime } = u + u ^ { \prime } \cdot x } \end{array} \right.$$
$$u + u ^ { \prime } x = u ^ { - 1 } + u$$
$$u ^ { \prime } = \frac { 1 } { u } \cdot \frac { 1 } { x }$$
$$\int \frac { 1 } { u } d u = \int x d x$$
$$\left. \begin{array}{l}{ \operatorname { ln } ( u ) = \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + c }\\{ u = e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \cdot k }\end{array} \right.$$
Problem/Ansatz:
Kann man das mit dem u^{-1} so machen?
