Du betrachtest einfach nur die Differenzenquotienten nach x und y. Hier beispielhaft für die Ableitung nach x:
$$f_x(0, 0) = \lim\limits_{\delta \to 0} \frac{f(\delta, 0) - f(0, 0)}{\delta} = \lim\limits_{\delta \to 0} \frac{\delta^2g(\delta, 0) + 2\delta}{\delta} = \lim\limits_{\delta \to 0} = \delta g(\delta, 0) + 2 = 2 $$
Wobei der letzte Schritt aus der Beschränktheit von g folgt, da somit ein $$a \in \mathbb{R} \text{ existiert mit } g(x, 0) \leq a \text{ für alle } x \in \mathbb{R} \Rightarrow \lim\limits_{\delta \to 0} \delta g(\delta, 0) \leq \lim\limits_{\delta \to 0} \delta a = 0$$
Die Beschränktheit ist notwendig, damit g in (0, 0) nicht schneller wächst als deine Umgebung kleiner wird. Nicht funktionieren würde es z.B. mit $$g(x, y) := \frac{1}{x^2}$$