Punktejagd beim Fußball

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Team A beim Fußball Team B in der Tabelle überholt. Beim Fußball in der 1. Bundesliga spielen 18 Mannschaften. Für jeden Sieg erhält ein Team 3 Punkte, für jedes Unentschieden 1 Punkt und bei jeder Niederlage erhält es 0 Punkte. In der Tabelle werden die Teams nach der Anzahl der erzielten Punkte sortiert. Wer Meister wird und wer in die 2. Liga absteigt entscheidet sich anhand des Tabellenplatzes. Wie kann man errechnen, wie wahrscheinlich es ist eine bestimmte Anzahl Punkte in einer bestimmten Anzahl von Spielen aufzuholen???

Problem/Ansatz:

Zum Beispiel: Es ist nur noch ein Spiel zu spielen und Team A braucht 2 Punkte um mit Team B gleichzuziehen (wir gehen der Einfachheit halber davon aus, dass Team A aufgrund einer positiveren Torstatistik damit Team B überholt, auch ist der Einfachheit halber gegeben, dass alle Teams gleich stark sind und niemand einen Heimbonus oder Gastmalus hat, außerdem ist ein Unentschieden genauso wahrscheinlich wie ein Sieg oder eine Niederlage; wir ignorieren alle sportlichen Faktoren und tun so als würden die Spieler eine Münze oder einen Würfel werfen um den Sieger zu bestimmen). Ich bin dann alle Möglichkeiten durchgegangen: Wenn Team A gewinnt kriegt es 3 Punkte, wenn es Unentschieden spielt 1 Punkt und bei einer Niederlage erhält es keine Punkte. Dann muss ich gegen rechnen, dass das Gegnerteam B auch Punkte machen kann. 3 Möglichkeiten für Team A mal 3 Möglichkeiten für Team B ergibt 9 mögliche Ergebnisse. Das geht alles noch, doch je mehr Spieltage noch zu spielen sind, desto breiter spaltet sich alles auf. Ist eine Formel möglich, in der ich nur noch die Anzahl der offenen Spieltage und die nötigen Punkte eintrage und dass Ergebnis der Formel dann einen Prozentwert ergibt, welcher zeigt wie wahrscheinlich es ist, das Team A die erforderlichen Punkte erzielt? Diese Formel kann auch ruhig lang werden, bei immer mehr Spieltagen. Da ich eh mit Excel arbeite kann man viel Formeln kopieren und so. Aber mir fehlt bereits der grundsätzliche Ansatz, wie ich das mathematisch löse...

Ich habe diese Frage bereits vor Wochen gestellt und niemand konnte mir helfen. Jemand hat mir gesagt, dass Trinomialkoeffizienten für die Lösung nötig sein könnten; jemand anderes meinte ich bräuchte eine Summenformel. Obwohl ich mich versuche rein zu lesen, komme ich nicht weiter. Ich wäre für jede Hilfe sehr, sehr dankbar, weil ich dieses mathematische Problem schon sehr lange mit mir rumtrage. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Team überholen beim Fußball

Stichworte: kombinatorik,fußball

Aufgabe:

Beim Fußball in der 1. Bundesliga spielen 18 Mannschaften. Für jeden Sieg erhält ein Team 3 Punkte, für jedes Unentschieden 1 Punkt und bei jeder Niederlage erhält es 0 Punkte. In der Tabelle werden die Teams nach der Anzahl der erzielten Punkte sortiert. Wer Meister wird und wer in die 2. Liga absteigt entscheidet sich anhand des Tabellenplatzes. Wie kann man errechnen, wie wahrscheinlich es ist eine bestimmte Anzahl Punkte in einer bestimmten Anzahl von Spielen aufzuholen???

Problem/Ansatz:

Zum Beispiel: Es ist nur noch ein Spiel zu spielen und Team A braucht 2 Punkte um mit Team B gleichzuziehen (wir gehen der Einfachheit halber davon aus, dass Team A aufgrund einer positiveren Torstatistik damit Team B überholt). Ich bin dann alle Möglichkeiten durchgegangen: Wenn Team A gewinnt kriegt es 3 Punkte, wenn es Unentschieden spielt 1 Punkt und bei einer Niederlage erhält es keine Punkte. Dann muss ich gegen rechnen, dass das Gegnerteam B auch Punkte machen kann. 3 Möglichkeiten für Team A mal 3 Möglichkeiten für Team B ergibt 9 mögliche Ergebnisse. Das geht alles noch, doch je mehr Spieltage noch zu spielen sind, desto breiter spaltet sich alles auf. Ist eine Formel möglich, in der ich nur noch die Anzahl der offenen Spieltage und die nötigen Punkte eintrage und dass Ergebnis der Formel dann einen Prozentwert ergibt, welcher zeigt wie wahrscheinlich es ist, das Team A die erforderlichen Punkte erzielt?

Ich grüble bereits seit über einer Woche darüber nach und ihr glaubt gar nicht, wie mir der Kopf qualmt. Ich habe mich in die Kombinatorik eingelesen und bereits einen Tipp erhalten, dass Trinomialkoeffizienten für die Lösung nötig sein könnten. Aber ich schaffe kriege es einfach nicht hin, dass alles richtig anzuwenden. Wie schwer ist es eine Formel für mein Problem aufzustellen? Könnte jemand mir jemand anhand einer Beispielsituation vorrechnen, wie ich auf eine richtige Lösung komme, sodass ich die Rechnung dann leicht nachvollziehen kann? Über eure Antworten würde ich mich sehr freuen!

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In welchem Zusammenhang ist die
Berechnung zu sehen ?

Willst du Toto nach mathematischen
Gesichtspunkten spielen ?

mfg Georg

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Nein, ich interessiere mich halt sehr für Fußball und finde Mathe (insbesondere Prozentrechnung) auch sehr spannend (auch wenn ich leider kein Talent für Mathe habe). Ich habe mich einfach immer gefragt, wie groß ist denn Punkterückstand x oder y wirklich? Beim Fußball wird über Ballbesitz und Passquoten geredet, aber ein Wert wie Dortmund hat noch eine Chance von 11,1 % mit Bayern gleich zu ziehen fehlt mir. Ich habe keinen großen Nutzen von dieser Formel, aber ich habe mich an dieser Sache jetzt so fest gebissen, dass ich mir endlich eine Lösung wünsche. Ich habe mir PDFs zu Kombinatorik ausgedruckt und die Leute in Foren mit meinen Fragen belästigt. Ich bin zu tief drin um jetzt noch aufzugeben. Mich würde es einfach glücklich machen diesen Wert berechnen zu können, was mir vorher nicht möglich war. Ich will einfach, dass dieses Rätsel gelöst wird, auch wenn ich es selber leider nicht schaffe. Aber mein Fußball-Problem scheint deutlich komplizierter zu sein, als ich anfangs dachte...

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Willst du Fußballergebnisse rein theoretisch
oder aufgrund von statistischen Werten
vorhersagen ?

Beides geht nicht.

Ich selbst habe einmal ein Totoprogramm
für den Computer geschrieben. Leider ohne
großen Vorhersageerfolg.

Im Prinzip ist es dasselbe wie Vorhersagen
beim Lotto = Zufallszahlen.

Falls du dich in Mathe verbessern willst oder
als Kurzweil dann lös´ die Aufgaben hier
im Forum.

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Ich habe diese Frage bereits vor Wochen gestellt und niemand konnte mir helfen.

Bitte Duplikate vermeiden helfen. Offenbar kann das niemand so genau, wie du das brauchst.

Ist dein Kommentar zur Antwort von Mathecoach nun in deine neue Formulierung der Frage eingeflossen?

Und: Bist du immer noch an weiteren Rechnungen interessiert?

Answer 1

Das ist nicht so ohne weiteres möglich, denn du müsstest für jede Spielpaarung auch hinterlegen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Heimmannschafft gewinnt, verliert oder unentschieden spielt.

Und eine Formel wird da nicht gehen. Im Grunde läuft das auf eine Summenformel hinaus.

Comments

Habe ich vergessen zu erwähnen: Ich möchte das sehr vereinfacht machen. Sonst wird es zu kompliziert! Wir gehen davon aus, dass alle Mannschaften gleich gut sind. Es ist egal ob zu Hause gespielt wird oder Auswärts, dass macht keinen Unterschied (im Gegensatz zur Realität). Auch ist ein Unentschieden ebenso wahrscheinlich wie Sieg oder Niederlage (obwohl im echten Leben ein Unentschieden seltener ist). Die Wahrscheinlichkeit für Sieg beträgt 1/3 ebenso wie für Unentschieden oder Niederlage! Selbst stark vereinfacht ist das schon schwierig genug! Die sportlichen Faktoren werden nicht berücksichtigt!