Stochastik: Annahme - und Ablehnungsbereich

Question

Aufgabe:

Ein Gastwirt geht davon aus, dass mehr als 25 Prozent seiner Gäste Wein bestellen. Dazu beobachtet er eine Anzahl von 200 Gästen. Allerdings glaubt er nicht wirklich an seine Annahme und versucht sie zu widerlegen.

a) Bestimmen Sie die Normalverteilung und überprüfen Sie, ob sie eine gute Näherung der Verteilung der Testgröße ist.

b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Normalverteilung den Annahme- und Ablehnungsbereich.

c) Begründen Sie die Entscheidungsregel.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher ob die Berechnungen so richtig sind.

Meine Lösungsversuche:

                                                                                                                       geg.:  Nullhypothese:                           H₀ :  p_0 ≤ 0,25

                                                                                                                                                           Gegenhypothese:                        H₁ : p₁ > 0,25 

                                                                                                                                                           Testgröße:                                    n = 200

                                                                                                                                                           Sicherheitswahrscheinlichkeit: 95 Prozent  

Varianz: V(x) = n*p*q = 200*0,25*0,75 = 37,5

µ = n*p = 200*0,25 = 50

                                                                                                                                              kleinster Wert für (x) ≥ 0,95 laut Tabelle x = 1,6

a) Näherung: p(X ≤ ca) ≈ [ca − µ ÷ σ]

                        ca − 50 ÷ √37,5 ≥ 1,6

                             ca ≥ 1,6 * √37,5 + 50 = 89,79                                            nächster ganzzahliger Wert = 90

b) _⇒  Annahmebereich      K = {0,1, ... ,90}  

           Ablehnungsbereich  K = {91, ... ,100}  

c) Da die Anzahl der Gäste, die den Wein bestellten, größer 25 ist wird die Nullhypothese beibehalten.

      Wäre sie kleiner als 25 würde sie abgelehnt werden.                  

Comments

Wieso ist denn p ≤ 0.25 in der H₀ Hypothese?

---

nächster ganzzahliger Wert = 

Diese Überlegung ist prinzipiell FALSCH.
Ich habe deine Angaben nicht nachgerechnet und auch nicht geschaut, ob das nun ≤ oder ≥ sein soll. Wenn DU aber davon ausgehst, dass bei kleinen Werten angenommen und bei großen Werten abgelehnt werden soll und deine berechnete Grenze 89,79 ist, dann müsstest du bei Werten <  89,79 annehmen  und bei Werte > 89,79 ablehnen.
Damit dürftest du die 90 NICHT mit in den Annahmebereich nehmen.
Warum ist übrigens bei 100 Schluss? 200 wurden getestet.

überprüfen Sie, ob sie eine gute Näherung der Verteilung der Testgröße ist.

Hier wird übrigens von dir eine Argumentation erwartet, ob es sinnvoll ist die eigentlich binomialverteilte Testgröße unter Verwendung einer Normalverteilung zu betrachten.

Da die Anzahl der Gäste, die den Wein bestellten, größer 25 ist 

Das ist jetzt völliger Unfug. Es geht um die Grenze zwischen Annahme- und Ablehnungsbereich, und die liegt nicht bei 25.

---

1,6 * √37,5 + 50 = 89,79  kann nicht richtig sein.
√37,5 ist ungefähr 6, also ist 1,6 * √37,5 ungefähr 10, und 10+50 ist 60.

---

Das was man zeigen bzw. widerlegen möchte ist die Alternativhypothese.

H1: p > 0.25

Der Gastwirt möchte seine Hypothese, dass mehr als 25% Wein trinken gerne widerlegen.

Zu der Nullypothese hat man auch immer die gegebene Wahrscheinlichkeit mit der man rechnet.

---

Die Aufgabe ist sowieso gegenstandslos, so lange nicht bekannt ist, auf welchem Signifikanzniveau die Stichprobe ausgewertet werden soll.

Anscheinend wird mit α=0,05 gearbeitet. Steht das auch so in der Aufgabe?

---

Die Aufgabe ist sowieso gegenstandslos, so lange nicht bekannt ist, auf welchem Signifikanzniveau die Stichprobe ausgewertet werden soll.

Warum? Es muss nicht immer etwas vorgegeben sein. Wenn du in der Realtät einen Test machen willst, kannst du auch selber das Signifikanzniveau festlegen.

Der Dozent darf dann halt nur den Weg bewerten und nicht dein Ergebnis.

Unter c) könnte man dann z.B. die Wahl des Signifikanzniveaus begründen.

---

"Gegenstandslos" ist vielleicht das falsche Wort. Ich wollte nur darauf aufmerksam machen, dass man für konkrete Berechnungen ein Signifikanzniveau braucht und der Fragesteller vergessen hat, es anzugeben.

Der Dozent darf dann halt nur ...

Dozent? Das ist nicht Uni, das ist Schulstoff.

---

"Gegenstandslos" ist vielleicht das falsche Wort. Ich wollte nur darauf aufmerksam machen, dass man für konkrete Berechnungen ein Signifikanzniveau braucht und der Fragesteller vergessen hat, es anzugeben.

Der Fragesteller hat eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 0.95 angegeben.

Ich gebe dir recht das er hier besser das Signifikanzniveau angeben sollte. Alternativ eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von mindestens 0.95.

Die tatsächliche Fehler- bzw. Sicherheitswahrscheinlichkeit kann man erst nachher berechnen, wenn man die Grenzen berechnet hat.

Dozent? Das ist nicht Uni, das ist Schulstoff.

Also ich habe das sowohl in der Schule als auch in der Uni gehabt.

Answer 1

a) Bestimmen Sie die Normalverteilung und überprüfen Sie, ob sie eine gute Näherung der Verteilung der Testgröße ist.

μ = n·p = 200·0.25 = 50
σ = √(n·p·q) = √(200·0.25·0.75) = 6.124 > 3

b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Normalverteilung den Annahme- und Ablehnungsbereich.

Φ(k) = 0.95 → k = 1.645

K = μ + k·σ = 50 + 1.645·6.124 = 60.07

Die Nullhypothese (H0: p ≤ 0.25) kann im Intervall [0; 60] nicht abgelehnt werden.
Die Nullhypothese (H0: p ≤ 0.25) kann im Intervall [61; 200] abgelehnt werden.

Comments

Zuerst einmal möchte ich mich für die schnellen Antworten bedanken.

> Anscheinend wird mit α=0,05 gearbeitet. Steht das auch so in der Aufgabe?

Diese Aufgabe ist eine von mehreren. Ein Signifikanzniveau wurde hier nicht angegeben, d.h., nur die oben stehenden Angaben.

> Wieso ist denn p ≤ 0.25 in der H0 Hypothese?

Der Aufgabentext besagt, dass die Nullhypothese und Gegenhypothese aus den vorangegangenen Berechnungen übernommen werden soll.

Die Aufgabenstellung ist auf Leistungskursniveau, daher habe ich hier die Näherungsformeln verwendet.

---

Das habe ich in meiner Rechnung auch so berücksichtigt.