Summenformel: Zähler mit Exponent im Nenner kürzen erlaubt?

Question

Sitze grade an einer Vollständigen Induktions Aufgabe und komme an einer Stelle nicht weiter.

Kann man auf der rechten Seite die m+1 im Zähler mit der m+1 im Nenner Exponenten kürzen oder was genau muss ich hier machen?

Wäre sehr dankbar wenn mir einer helfen könnte :)

Answer 1

.. das geht doch ziemlich straight forward. Zu zeigen$$\sum_{k=1}^m \frac{k}{2^k} = 2 - \frac{m+2}{2^m}$$ Übergang von \(m\) zu \(m+1\):$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{m+1} \frac{k}{2^k} &= \sum_{k=1}^m \frac{k}{2^k} + \frac{m+1}{2^{m+1}} \\ &=  2 - \frac{m+2}{2^m} + \frac{m+1}{2^{m+1}} \\ &=  2 - \left(\frac{m+2}{2^m} - \frac{m+1}{2^{m+1}}\right) \\ &=  2 - \left(\frac{2(m+2)}{2^{m+1}} - \frac{m+1}{2^{m+1}}\right) \\&= 2 - \frac{2(m+2) - (m+1)}{2^{m+1}} \\&= 2 - \frac{m + 3}{2^{m+1}} \\&= 2 - \frac{(m+1) + 2}{2^{m+1}} \end{aligned}$$q.e.d.

Comments

Soweit ist er doch schon.

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Soweit ist er doch schon.

Ich beantworte die Frage immer erst, bevor ich sie vollständig durchlese ;-)

.. oder was genau muss ich hier machen?

nix - da kann/darf man nichts kürzen; wozu auch?

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Kann man auf der rechten Seite die m+1 im Zähler mit der m+1 im Nenner Exponenten kürzen

Nein natürlich nicht. Denn im Grunde steht doch da:$$\frac{(m+1)+2}{2^{m+1}} = \frac{\overbrace{(m+1)+2}^\text{Summe}}{\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \dots 2 \cdot 2}_{m+1 \space \text{mal}}}$$Oben steht eine Summe, aus der man einzelne Summanden eh' nicht kürzen darf und unten stehen nur Vielfache von \(2\); also das \(m+1\) kommt weder im Zähler noch im Nenner als Faktor vor!

Answer 2

Kürzen darfst du nicht.

Wenn du nicht verraten möchtest, was zu beweisen ist, kann man hier nicht gross weiterhelfen.

Answer 3

"Kann man auf der rechten Seite die m+1 im Zähler mit der m+1 im Nenner Exponenten kürzen"

NEIN. Du kannst abet den Hauptnenner bilden.