Grenzwert mit L´Hospital

Question

Aufgabe:

lim x->0 ( (exp(x) - 1 - x) / (x^(2)) )

hi,

ich soll hier den Grenzwert bestimmen:

Da, x -> 0 kommt "0"/ "0" raus und wir können L´Hospital verwenden

d.h. wir leiten den Bruch ab un setzten in die Ableitung x->0 ein

1.Ableitung ( ((x-2) * exp(x) + x + 2) / (x^(3)) )

wenn ich hier für x Null einsetze kommt 0/0 rasu also gibt es keinen Grenzwert

Aber in der Lösung steht, dasss hier als Grenzwert 1/2 rauskommt. Ich weiß nicht wo mein Fehler ist. Wär dankbar für eure Hilfe

LG

Answer 1

Bei L'Hospital leitest du bei einem Bruch Zähler und Nenner getrennt ab. Man leitet nicht den Bruch insgesamt mit der Quotientenregel ab. Das macht L'Hospital so einfach.

lim (x → 0) (e^x - x - 1) / (x^2)

= lim (x → 0) (e^x - x - 1)' / (x^2)'

= lim (x → 0) (e^x - 1) / (2·x)

= lim (x → 0) (e^x - 1)' / (2·x)'

= lim (x → 0) (e^x) / (2)

= 1/2

Comments

hi,

ist ( (exp(x)) / (2) ) die 2.Ableitung, weil wo gehen die 1 und die x hin ?

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Was meinst du? Der Grenzwert für x ist immer 0.

e^0 = 1

damit ist der Grenzwert des Bruchterms 1/2.

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ist ( (exp(x)) / (2) ) die 2.Ableitung

 fast: es wurde zweimal die Regel von Hospital angewendet, also zweimal im Zähler und im Nenner getrennt abgeleitet.

Answer 2

Zähler und Nenner getrennt ableiten.