die definition sagt aus das die vektoren linear unabhängig sind,
wenn sich mit ihnen der nullvektor nur auf eine einzige art als linearkombination
darstellen lässt und zwar so, dass alle ak = 0 sind. das geht natürlich immer. und man nennt es auch die triviale darstellung des nullvektors.
gibt es mehr als diese lösung, dann sind sie linear abhängig.
das bedeutet auch, wenn vektoren linear abhängig
sind, dann lässt sich mindestens einer von ihnen als linearkombination der
übrigen darstellen. z.b. sind die vektoren (0,1), (1,0) linear unabhängig, weil sich
der nullvektor mit ihnen nur auf eine einzige art darstellen lässt:
a1*(0,1) + a2*(1,0) = (0,0) mit a1 = 0, a2 = 0. und man kann weder vektor (0,1)
als linearkombination des vektors (1,0) darstellen noch umgekehrt.
dagegen sind die vektoren (2,0), (1,0) linear abhängig, weil
a1*(2,0) + a2*(1,0) = (0,0) mit a1=1, a2 = -2, a1 = -1/2, a2 = 1, usw. und natürlich mit a1=a2=0.
weil (2,0), (1,0) linear abhängig sind, lässt sich der vektor (2,0) als linearkombination
des vektors (1,0) darstellen: (2,0) = a1(1,0) mit a1 = 2
ebenfalls lässt sich der vektor (1,0) als linearkombination des vektors (2,0) darstellen:
(1,0) = a1(2,0) mit a1 = 1/2.
