Ein Idealer Würfel und zwei gleiche Augenzahlen

Question

Aufgabe:

a) Ein Zufallsexperiment hat die Ergebnisenge  S= {a,b,c,d,e} und die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Sind die Ereignisse A= {c,b} und B={a,d} voneinander unabhängig?
Problem/Ansatz:

b) Ein idealer Würfel wird zweimal geworfen.

Es sei A:Zwei gleiche Augenzahlen, B: Augensumme kleiner als 5.

Sind sie Ereignisse A und B voneinander unabhängig?

Ich hab  glaube mir ist das Wort unabhängig nicht klar. Diese Aufgabe fehlt mir so schwer zu verstehen . Ich brauche eure Hilfe Danke

Answer 1

Sind die Ereignisse A= {c,b} und B={a,d} voneinander unabhängig?

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A∩B) = P(A) · P(B) ist.

Answer 2

Eine Eigenschaft unabhängiger Ereignisse E und F  ist z.B.

p(E)*p(F) = p(E∩F).

Kann bei a)  nicht gelten, da der Schnitt leer ist.

b) Es sei A:Zwei gleiche Augenzahlen

p(A) = 6/36 = 1/6

 B: Augensumme kleiner als 5

p(A) = 6/36 = 1/6

A∩B enthält nur (1;1) und (2;2) also p= 2/36 = 1/18

aber p(A)*p(B) = 1/36

Also sind sie Ereignisse A und B NICHT voneinander unabhängig?

Answer 3

Zwei Ereignisse A und B heißen genau dann voneinander unabhängig, wenn P(A∩B)=P(A)·B(B). Beispiel Aufgabe b)

A:Zwei gleiche Augenzahlen, P(A)=1/6

Sechs günstige Fälle.(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6) und 36 mögliche Fälle

B: Augensumme kleiner als 5. Sechs günstige Fälle.

(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (3,1) und 36 mögliche Fälle

A∩B={(1,1); (2,2)} Zwei günstige Fälle und 36 mögliche Fälle. P(A∩B)=1/18.

Jetzt prüfen: 1/18≠1/6·1/6 also nicht voneinander unabhängig.

Answer 4

a)

P(A) = P({b, c}) = 0.4

P(B) = P({a, d}) = 0.5

P(A ∩ B) = P({b, c} ∩ {a, d}) = P({}) = 0 ≠ P(A)·P(B)

Damit sind die Ereignisse abhängig.

b)

P(A) = P(11, 22, 33, 44, 55, 66) = 6/36 = 1/6

P(B) = P(11, 12, 13, 21, 22, 31) = 6/36 = 1/6

P(A ∩ B) = P(11, 22) = 2/36 ≠ P(A)·P(B)

Damit sind die Ereignisse abhängig.