Frage zu Wikibooks-Artikel über Supremum/Infimum: Mein alternativer Beweis zum Artikel korrekt?

Question

es geht um folgende Aufgabe:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Supremum_und_Infimum_bestimmen_und_beweisen#Menge_von_Funktionswerten

$$M:=\left\{\frac{1}{1+x^2} : x\in \mathbb{R}\right\}$$

Behauptung: $$\inf M=0$$
Mir geht es nur um den Beweis, dass 0 die kleinste untere Schranke ist, der Beweis das 0 eine untere Schranke von M ist, unterscheidet sich bei mir nicht.

Mein Beweis ist deutlich kürzer, deswegen bin ich mir nicht sicher ob er korrekt ist.

Beweis:

Angenommen es existiert ein \(y\in \mathbb{R}\) mit \(y>0\), so dass für alle \( x\in \mathbb{R} \) gilt: \( y\leq \frac{1}{1+x^2} \)

Setze nun \(x= \frac{1}{\sqrt{y}} \) , es gilt offensichtlich \( \frac{1}{\sqrt{y}} \in \mathbb{R} \), dann folgt:

\( y\leq \frac{1}{1+x^2} \leftrightarrow y\cdot(1+ x^2)\leq 1 \)

\( \leftrightarrow y+ yx^2\leq 1 \quad \vert  \)  \(x= \frac{1}{\sqrt{y}}\)

\( \rightarrow y+ 1 \leq 1 \rightarrow y \leq 0 \)

Widerspruch zur Annahme \(y>0\), somit muss 0 die kleinste obere Schranke von M sein.

Comments

Oh :( Ich meine immer größte untere Schranke, habe mich verschrieben....

Und einmal habe ich sogar kleinste obere Schranke, anstatt größte untere Schranke geschrieben... sry, war unkonzentriert.

---

Du schreibst, angenommen es existiert ein \(y>0\), sodass für alle \(x\) gilt: \(y\le\frac{1}{1+x^2}\). Das heißt, dieses \(y\) erfüllt die Bedingung:$$y\le\frac{1}{1+x^2}\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{y}\ge1+x^2\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{\sqrt y}\ge\sqrt{1+x^2}>x$$Du kannst also nicht \(x=\frac{1}{\sqrt y}\) setzen. Weil du es trotzdem tust, bekommst du den Widerspruch am Ende.

---

Verstanden, danke :)

---

Schöner Beweis.

Answer 1

Aloha :)

Die Wahl \(x=\frac{1}{\sqrt y}\) erfüllt nicht die Bedingungen: \(y\le\frac{1}{1+x^2}\) und \(y>0\), denn:$$0<y\le\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{\sqrt y}\right)^2}=\frac{1}{1+\frac{1}{y}}\;\Rightarrow\;y+1\le1\;\Rightarrow\; y\le0$$Du erhältst den Widerspruch in deinem Beweis also, weil du oben was Falsches reingesteckt hast.

Comments

Danke für die Antwort :)

Das war meine Idee:

Ich nehme an es gibt eine größere untere Schranke y von M, dann habe ich "gezeigt", dass ich immer ein Element aus M finden kann, so dass y>0 nicht gelten kann, wenn y eine untere Schranke ist.

Für beliebige positive reelle Zahlen y∈ℝ, kann man immer das Element m∈M finden, mit

\( m:=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{\sqrt  y }\right)^2} \)


Nach Umformungen folgt dann, dass y>0 nicht gelten kann, wenn y eine untere Schranke von M ist.

Ich verstehe meinen Fehler nicht :(