0 Daumen
1,7k Aufrufe


ich studiere Mathe im 1. Semester bei meinem ersten Übungsblatt bin ich auf folgendes Problem gestoßen. Die Aufgabe ist keine Pflichtaufgabe allerdings möchte ich sie doch verstehen.


A := { 1/x -1/y : x,y Element von R , x,y>= 1}

Ich vermute das das Infimum -1 ist und das es kein Minimum gibt. Desweiteren vermute ich dass das Supremum 1 ist und das dies auch das Maximum ist.

Ich habe bisher versucht das Infimum zu beweisen: 1/x - 1/y < ε-1. 

Nun bin ich mir nicht sicher wie ich die Epsilon Definition weiter verwende.

Ich bedanke mich schon mal im Voraus für alle Lösungsvorschläge.





Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

> 1/x - 1/y < ε-1

Setze y = 1  ein und forme nach x um. Damit hast du dann gezeigt, dass das Infimum nicht größer als -1 sein kann.

Außerdem müsstest du noch zeigen, dass das Infimum nicht kleiner als -1 sein kann.

> das Supremum 1 ist und das dies auch das Maximum ist.

Für welche Belegung von x und y ist denn 1/x -1/y = 1?

Avatar von 107 k 🚀

ich bin wie folgt vorgegangen:

ich habe x=1 gewählt und dann y gegen unendlich laufen lassen. 1/y ist doch für y gegen unendlich 0? Das heißt 1 ist ( ohne Beweis) das Supremum.  Ob es auch das Maximum ist das habe ich einfach mal angenommen. Ich hatte es noch nicht bewiesen.

<=> -1 +ε > 1/x -1

<=> ε > 1/x  da x>= 1 folgt daraus das es kein größeres Infimum gibt?

Analog zum Supremum

<=>  1-ε < 1/x -1

<=> -ε< 1/x -2

<=> ε> -1/x +2 => kann ich daraus schließen ε > 1 ? damit gibt es zwischen 1 und ε Werte aus A oder?

Ich bin mir echt nicht sicher!

<=> ε > 1/x

Weiter ...

<=> x > 1/ε

Mit anderen Worten, zu jedem ε > 0 existieren x,y ≥ 1 so dass

        1/x - 1/y ≤ -1+ε

nämlich y = 1 und x = 1/ε. Wenn -1 also eine untere Schranke von A ist, dann ist es die größte untere Schranke, also das Infimum.

Das -1 eine untere Schranke ist, kann man zeigen indem man die Ungleichung

        1/x - 1/y < -1

nach y umstellt:

        y < x/(x+1).

Wegen x/(x+1) < 1 hat die Ungleichung keine Lösung mit y ≥ 1. Also ist -1 eine untere Schranke.

> 1/y ist doch für y gegen unendlich 0?

Ja. Und wenn 1/y = 0 ist, dann hat die Menge ein Maximum :-)

Danke für deine Antwort.

Was ich jetzt habe :

Die Ungleichung 1/x - 1/y < ε -1 , mit y=1

=> 1/x -1 < ε -1

<=> 1/x <ε

<=> x> 1/ε


Damit kann ich doch die Ungleichung 1/x - 1/y <= ε -1

mit y=1 und x= 1/ε erfüllen? Was dann heißt -1 ist die größte untere Schranke?


Dann:

1/x - 1/y < -1 (kleinste Untergrenze?)

1/y > (x+1)/x

y< x/(x+1) => x/(x+1) < 1 also keine Lösung für y>=1 und damit ist -1 die unterste Schranke von A?



Nun analog zum Supremum:

1/x -1/y > 1-ε

1/x -1 > 1-ε

1/x > 2-ε

x < 1/(2-ε)


Wieder 1/x - 1/y >= 1-ε für x= 1/(2-ε) und y=1 erfüllt!?

1 ist also die kleinste Obergrenze von A?


1/x -1/y > 1 (größte OS?)

-1/y > (x-1)/x

1/y < (1-x)/x

y> x/(1-x)  =>  x/(1-x) >= 1 ? Nicht wirklich ein Widerspruch zu y>=1 oder?

Was nun hab ich was falsch gerechnet oder ist meine Annahme falsch?

> Damit kann ich doch die Ungleichung 1/x - 1/y <= ε -1 mit y=1 und x= 1/ε erfüllen?

Ja.

> Was dann heißt -1 ist die größte untere Schranke?

Und wenn ich jetzt behaupten würde, dass -1/2 die größte untere Schranke ist, dann würdest du die Ungleichung 1/x - 1/y <= ε -1/2 lösen und sehen, dass x= 1/ε, y=2 eine Lösung ist und schlussfolgern, dass -1/2 die größte untere Schranke ist?

Da kann doch an deiner Argumentation irgendetwas nicht stimmen. Wie sieht's mit -1/3 als größte untere Schranke aus? Oder mit -1/4.

Bitte denke noch mal darüber nach, was mein Satz "Wenn -1 also eine untere Schranke von A ist, dann ist es die größte untere Schranke, ..." hergibt, falls -1 keine untere Schranke ist.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community