Menge auf Supremum, Infimum untersuchen (mit Beweis)

Question

ich studiere Mathe im 1. Semester bei meinem ersten Übungsblatt bin ich auf folgendes Problem gestoßen. Die Aufgabe ist keine Pflichtaufgabe allerdings möchte ich sie doch verstehen.

A := { 1/x -1/y : x,y Element von R , x,y>= 1}

Ich vermute das das Infimum -1 ist und das es kein Minimum gibt. Desweiteren vermute ich dass das Supremum 1 ist und das dies auch das Maximum ist.

Ich habe bisher versucht das Infimum zu beweisen: 1/x - 1/y < ε-1. 

Nun bin ich mir nicht sicher wie ich die Epsilon Definition weiter verwende.

Ich bedanke mich schon mal im Voraus für alle Lösungsvorschläge.

Answer 1

> 1/x - 1/y < ε-1

Setze y = 1  ein und forme nach x um. Damit hast du dann gezeigt, dass das Infimum nicht größer als -1 sein kann.

Außerdem müsstest du noch zeigen, dass das Infimum nicht kleiner als -1 sein kann.

> das Supremum 1 ist und das dies auch das Maximum ist.

Für welche Belegung von x und y ist denn 1/x -1/y = 1?

Comments

ich bin wie folgt vorgegangen:

ich habe x=1 gewählt und dann y gegen unendlich laufen lassen. 1/y ist doch für y gegen unendlich 0? Das heißt 1 ist ( ohne Beweis) das Supremum.  Ob es auch das Maximum ist das habe ich einfach mal angenommen. Ich hatte es noch nicht bewiesen.

<=> -1 +ε > 1/x -1

<=> ε > 1/x  da x>= 1 folgt daraus das es kein größeres Infimum gibt?

Analog zum Supremum

<=>  1-ε < 1/x -1

<=> -ε< 1/x -2

<=> ε> -1/x +2 => kann ich daraus schließen ε > 1 ? damit gibt es zwischen 1 und ε Werte aus A oder?

Ich bin mir echt nicht sicher!

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<=> ε > 1/x

Weiter ...

<=> x > 1/ε

Mit anderen Worten, zu jedem ε > 0 existieren x,y ≥ 1 so dass

        1/x - 1/y ≤ -1+ε

nämlich y = 1 und x = 1/ε. Wenn -1 also eine untere Schranke von A ist, dann ist es die größte untere Schranke, also das Infimum.

Das -1 eine untere Schranke ist, kann man zeigen indem man die Ungleichung

        1/x - 1/y < -1

nach y umstellt:

        y < x/(x+1).

Wegen x/(x+1) < 1 hat die Ungleichung keine Lösung mit y ≥ 1. Also ist -1 eine untere Schranke.

> 1/y ist doch für y gegen unendlich 0?

Ja. Und wenn 1/y = 0 ist, dann hat die Menge ein Maximum :-)

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Danke für deine Antwort.

Was ich jetzt habe :

Die Ungleichung 1/x - 1/y < ε -1 , mit y=1

=> 1/x -1 < ε -1

<=> 1/x <ε

<=> x> 1/ε

Damit kann ich doch die Ungleichung 1/x - 1/y <= ε -1

mit y=1 und x= 1/ε erfüllen? Was dann heißt -1 ist die größte untere Schranke?

Dann:

1/x - 1/y < -1 (kleinste Untergrenze?)

1/y > (x+1)/x

y< x/(x+1) => x/(x+1) < 1 also keine Lösung für y>=1 und damit ist -1 die unterste Schranke von A?

Nun analog zum Supremum:

1/x -1/y > 1-ε

1/x -1 > 1-ε

1/x > 2-ε

x < 1/(2-ε)

Wieder 1/x - 1/y >= 1-ε für x= 1/(2-ε) und y=1 erfüllt!?

1 ist also die kleinste Obergrenze von A?

1/x -1/y > 1 (größte OS?)

-1/y > (x-1)/x

1/y < (1-x)/x

y> x/(1-x)  =>  x/(1-x) >= 1 ? Nicht wirklich ein Widerspruch zu y>=1 oder?

Was nun hab ich was falsch gerechnet oder ist meine Annahme falsch?

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> Damit kann ich doch die Ungleichung 1/x - 1/y <= ε -1 mit y=1 und x= 1/ε erfüllen?

Ja.

> Was dann heißt -1 ist die größte untere Schranke?

Und wenn ich jetzt behaupten würde, dass -1/2 die größte untere Schranke ist, dann würdest du die Ungleichung 1/x - 1/y <= ε -1/2 lösen und sehen, dass x= 1/ε, y=2 eine Lösung ist und schlussfolgern, dass -1/2 die größte untere Schranke ist?

Da kann doch an deiner Argumentation irgendetwas nicht stimmen. Wie sieht's mit -1/3 als größte untere Schranke aus? Oder mit -1/4.

Bitte denke noch mal darüber nach, was mein Satz "Wenn -1 also eine untere Schranke von A ist, dann ist es die größte untere Schranke, ..." hergibt, falls -1 keine untere Schranke ist.