Zeigen,dass E-A invertierbar ist mit A= - A^T

Question

Hallo

ich habe eine Frage zur linearen Algebra.

Ich würde gerne zeigen, dass E-A invertierbar ist, wobei E die Einheitsmatrix ist und A eine schiefsymmetrische Matrix, also A=-A^T   (E und A sind n×n-Matrizen)

Ich wollte das eigentlich über die Determinante zeigen. Also wenn det(E-A) ≠ 0 ist dann ist ja E-A invertierbar. Aber ich kann hier nicht auf Regeln für Determinanten zurückgreifen und es in det(E+A^T) umzuschreiben bringt mich auch irgendwie nicht weiter.

Dann hatte ich überlegt, dass ich ja auch einfach eine Matrix B suchen kann für die dann (E-A)*B=E gilt...leider fällt mir keine ein.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

schiefsymmetrische Matrizen haben rein imaginäre Eigenwerte λ=ib

Die Matrix E+A hat dann die Eigenwerte 1+ib; und diese sind also ungleich 0. Damit ist die Matrix invertierbar.

Answer 2

Aloha :)

Sei \(A\in\mathbb{R^{n\times n}}\) schiefsymmetrisch, d.h. \(A=-A^T\). Sei weiter \(\lambda\in\mathbb{C}\) ein Eigenwert von \(A\) mit dem zugehörigen Eigenvektor \(\vec x\), dann gilt:

$$\lambda\left<\vec x,\vec x\right>=\left<\vec x,\lambda \vec x\right>=\left<\vec x,A\vec x\right>=\left<A^T\vec x,\vec x\right>=\left<-A\vec x,\vec x\right>=\left<-\lambda\vec x,\vec x\right>=-\lambda^\ast\left<\vec x,\vec x\right>$$$$\Rightarrow\quad\lambda=-\lambda^\ast\quad\Rightarrow\quad\text{Re}(\lambda)=0$$Die Matrix \(A\) hat also nur Eigenwerte mit Realteil 0, d.h. die 0 selbst ist Eigenwert oder die Eigenwerte sind rein imaginär. In jedem Fall hat die Matrix nicht den Eigenwert \(1\). Daher ist:$$\text{det}(E-A)=(-1)^n\cdot\text{det}(A-E)=(-1)^n\cdot\text{det}(A-1\cdot E)\ne 0$$