Du verwendest das Qoutientenkriterium falsch herum. Du musst den Bruch so einsetzen als:$$ \limsup_{k\to \infty}\Bigg |\frac{a_{k+1}}{a_k} \Bigg | $$
Für (2n)!! Kannst du auch diesen Ausdruck verwenden:
$$ (2n)!!=2^n\cdot n! $$ (geht mit Induktion zu beweisen) , falls dich die Doppelfakultät stört.
Beispiel (2*5)!!=2*4*6*8*10=3840=2^5*5!
(2*7)!!=2*4*6*8*10*12*14=645120=2^7*7!