Konvergenzradius mit Doppelfakultät

Question

Aufgabe:

Bestimme den Konvergenzradius

$$ \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\dfrac{(2n)!!}{n^n}x^n}  $$ 

Problem/Ansatz:

Ich nehme die Formel \( \rho =  \lim\limits_{n\to\infty} |\dfrac{a_n}{a_{n+1}}|   \)
Ich erhalte \(  \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{(2n)!!}{n^n}*\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!!} \)
Hier bin ich mir unsicher mit der Doppelfakultät. Kann ich das umschreiben als
\(  \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{(2n)!!}{n^n}*\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)*((2n)!!)} \), weil die Doppelfakultät laut Wikipedia in Zweierschritten hüpft und dann entsprechend kürzen?

Answer 1

Du verwendest das Qoutientenkriterium falsch herum. Du musst den Bruch so einsetzen als:$$ \limsup_{k\to \infty}\Bigg |\frac{a_{k+1}}{a_k} \Bigg | $$

Für (2n)!! Kannst du auch diesen Ausdruck verwenden:

$$ (2n)!!=2^n\cdot n! $$ (geht mit Induktion zu beweisen) , falls dich die Doppelfakultät stört.

Beispiel (2*5)!!=2*4*6*8*10=3840=2^5*5!

(2*7)!!=2*4*6*8*10*12*14=645120=2^7*7!

Comments

Ich möchte den Konvergenzradius und nicht das Quotientenkriterium

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Du musst den Grenzwert kennen, um dann den Konvergenzradius zu bestimmen. Und diesen Grenzwert kann man zB mit dem Outientenkriterium bestimmen.

Answer 2

(2n)! hat 2n Faktoren.

(2n+2)! hat 2n+2 Faktoren und ist wesentlich größer als (2n)!.

Vergleiche mal für n=3:

(2*3)!=720

(2*3+2)!=40320.

(2*3)!! multipliziert die Zahlen von 1 bis 720.
(2*3+2)!! multipliziert die Zahlen von 1 bis 40320.

Comments

und wie soll ich hier vorgehen? Ich hab keinen anderen weg gesehen

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Vergiss meine Antwort. Ich habe (2n)!! als ((2n)!)! interpretiert, aber   (2n)!! ist anders definiert.