Wert der Teststatistik berechnen. Welches Quantil muss verwendet werden und welchen Wert hat es?

Question

Aufgabe:

Es soll überprüft werden, ob Kohlmeisen sich beim Brüten durch farbiges Umgebungslicht beeinflussen lassen. Es wurden folgende Daten erhoben.

	rot	blau	kein
Bruterfolg	40	34	40
kein Bruterfolg	10	16	10

Die Nullhypothese, dass das Umgebungslicht keinen Einfluss auf den Bruterfolg hat, soll durch einen x^2- Test überprüft werden. Das signifikanzniveau beträgt alpha= 0.05

a) Bestimme den Wert der Teststatistik.

b) Welches Quantil muss verwendet werden und welchen Wert hat es?

c) Bestimme den p-Wert.

Answer 1

a) 

		Umgebungslicht
		rot	blau	kein	\(\sum{n_B}\)
Bruterfolg	\(n_B\)	40	34	40	114
	\(n_E\)	38	38	38
kein Bruterfolg	\(n_B\)	10	16	10	36
	\(n_E\)	12	12	12
\(\sum{n_B}\)	50	50	50	150

n_B sind die beobachteten Häufigkeiten und n_E die erwarteten Häufigkeiten, die sich aus den Gesamtzahlen berechnen lassen, wenn man annimmt, dass beide Merkmale stochastisch unabhängig sind.

$$\chi^2_{EMP}=\sum{\frac{(n_B-n_E)^2}{n_E}}=\frac{50}{19}\approx 2,6316$$

b) Zu betrachtendes Quantil: \(1-0,05=0,95\) mit \(2\) Freiheitsgraden: $$\chi^2_{(0,95;2)}\approx 5,99$$

c) Den p-Wert solltest du (glaube ich) mittels P=1- F(2,6316|2) erhalten, wobei F(x|2) die \(\chi^2\)-Verteilungsfunktion mit zwei Freiheitsgeraden ist.

Wolfram behauptet, dass \(F(x|2) = \begin{cases} 1-e^{-x/2} &, x \gt 0 \\ 0 &, sonst \end{cases}\) ist. Dann würde sich also \( P\approx0,2682 \) ergeben.