Aloha :)
Für den Widerstand \(R_1\) sind Wert und Messunsicherheit bereits bekannt:$$R_1=100,0037\,\Omega\quad;\quad\delta R_1=0,0002\,\Omega$$
\(U_1\) und \(U_2\) sind die Mittelwerte der Einzelmessungen \(u_i\) bzw. \(v_i\):$$U_1=\frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}u_i=0,10056\,V\quad;\quad U_2=\frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}v_i=0,10574\,V$$Der Fehler \(\delta U_1\) und \(\delta U_2\) von \(U_1\) bzw. \(U_2\) ist die empirische Standardabweichung:
$$\delta U_1=\sqrt{\frac{1}{9}\sum\limits_{i=1}^{10}\left(u_i-U_1\right)^2}=0,00080$$$$\delta U_2=\sqrt{\frac{1}{9}\sum\limits_{i=1}^{10}\left(v_i-U_2\right)^2}=0,00113$$Weil durch beide Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) derselbe Strom fließt und dieser Strom Schwankungen unterworfen ist, sind die gemessenen Spannungen \(U_1\) und \(U_2\) miteinander korreliert. Um diese Korrelation mathematisch zu fassen, berechne den sog. Korrelationskoeffizienten:
$$\rho(U_1,U_2)=\frac{\delta(U_1,U_2)}{\delta U_1\cdot\delta U_2}=\frac{\frac{1}{9}\sum\limits_{i=1}^{10}\left(u_i-U_1\right)\left(v_i-U_2\right)}{\sqrt{\frac{1}{9}\sum\limits_{i=1}^{10}\left(u_i-U_1\right)^2}\sqrt{\frac{1}{9}\sum\limits_{i=1}^{10}\left(v_i-U_2\right)^2}}=0,73949$$Beachte bitte, dass sich die \(\frac{1}{9}\) alle rauskürzen, daher werden die Vorfaktoren \(\frac{1}{n-1}\) bei der Definition des Korrelationskoeffizienten in der Regel weggelassen. Das Wichtige ist, dass man den korrelierten Fehler \(\delta(U_1,U_2)\) mit Hilfe des Korrelationskoeffizienten und der Einzehlfehler hinschreiben kann:
$$\delta(U_1,U_2)=\rho(U_1,U_2)\cdot\delta U_1\cdot\delta U_2$$
So, das ist jetzt die halbe Miete. Jetzt musst du die einzelnen Messunsicherheiten noch zur Messunsicherheit von \(R_2\) gemäß der Berechnungsvorschrift \(R_2=\frac{U_2}{U_1}R_1\) kombinieren. Weil hier eine Korrelation im Spiel ist, benötigen wir das erweiterte Fehlerfortpflanzungs-Gesetz von Gauß. Für eine Messgröße \(f=f(x_1,\cdots,x_N)\), die von \(N\) fehlerbehafteten Werten abhängig ist lautet dieses:
$$(\delta f)^2=\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^N\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}\delta(x_i,x_j)$$Deine Messgröße \(R_2=\frac{U_2}{U_1}R_1\) hängt von \(N=3\) fehlerbehafteten Messgrößen \(\{U_1,U_2,R_1\}\) ab. Ich schreibe zuerst die Terme für \(i=j\) auf und dann die Mischterme:
$$(\delta R_2)^2=\overbrace{\left(-\frac{U_2}{U_1^2}R_1\cdot\delta U_1\right)^2}^{i=j=1}+\overbrace{\left(\frac{1}{U_1}R_1\cdot\delta U_2\right)^2}^{i=j=2}+\overbrace{\left(\frac{U_2}{U_1}\cdot\delta R_1\right)^2}^{i=j=3}$$$$\phantom{(\delta R_2)^2}+2\cdot\underbrace{\left(-\frac{U_2}{U_1^2}R_1\right)\left(\frac{1}{U_1} R_1\right)\,\delta(U_1,U_2)}_{i=1,j=2\;\land\;i=2,j=1}$$Die beiden Mischterme \(i=1,j=2\) und \(i=2,j=1\) sind gleich, daher die Multiplikation mit 2. Mehr Mischterme gibt es nicht, da nur \(U_1\) und \(U_2\) miteinander korreliert sind. Das kann man noch zusammenfassen:
$$(\delta R_2)^2=\left(\frac{U_2R_1}{U_1^2}\,\delta U_1\right)^2+\left(\frac{R_1}{U_1}\,\delta U_2\right)^2+\left(\frac{U_2}{U_1}\,\delta R_1\right)^2$$$$\phantom{(\delta R_2)^2}-\frac{2U_2R_1^2}{U_1^3}\,\rho(U_1,U_2)\,\delta U_1\,\delta U_2$$Jetzt musst du nur noch alles einsetzen und ausrechnen ;)
