Abbildungen mit DimKern >=1

Question

Hallo mir ist folgendes nicht ganz klar.

für  eine Abbildung  f : ℝ⁵ →ℝ⁴ gilt dimKern >= 1 und für eine Abbildung f : ℝ³ →ℝ⁴ gilt NICHT dimKern >=1

 Ich kenne die Dimensionsformel dimV= dimBild + dimKern

demnach gilt für das erste dimV=5 , Dim Bild=4 und daher muss ja dimKern 1 sein. Und bei dem anderen analog komme ich auf dimKern= -1 , aber wie kann eine Dimension negativ sein????

Kann mir das Jemand vielleicht erklären?

Answer 1

für  eine Abbildung  f : ℝ⁵ →ℝ⁴ gilt dimKern >= 1.

Zum Beispiel f(x) = 0 für alle x. Dann ist dimKern = 5 >=1 und dim Bild = 0.

und für eine Abbildung f : ℝ³ →ℝ⁴ gilt NICHT dimKern >=1

Dann muss dimKern = 0 sein.

aber wie kann eine Dimension negativ sein????

Eine Dimension kann nicht negativ sein.

Kann mir das Jemand vielleicht erklären?

Ja. Was genau möchtet du denn erklärt bekommen? Insbesondere ist mir nicht klar, wie du auf "analog komme ich auf dimKern= -1" kommst.

Comments

Ja. Was genau möchtet du denn erklärt bekommen? Insbesondere ist mir nicht klar, wie du auf "analog komme ich auf dimKern= -1" kommst.

Der Fragestellende nimmt an, dass das Bild einer Abbildung f : ℝ^3 →ℝ^4 immer Dimension 4 haben muss. Da  ℝ^4 ja Dimension 4 hat. Dimensionsformel verwenden: dim ker f = 3 - 4=-1. Das ist natürlich falsch.

Hier sollte der Fragestellende erstmal die Definition des Bildes nachschlagen und sich dann den Unterschied zwischen Bild und Zielraum bewusst machen.