Büschelpunkt allgemein berechnen

Question

meine Frage ist, den Büschelpunkt eines Geradenbüschels in allgemeiner Form in Abhängigkeit von k zu bestimmen:  So, dass er für alle  k  gilt.  

Dies kann man auf komplizierten Wege machen, aber ich möchte, dass ich es normal durch das Einsetzen zweier Punkte lösen kann - zunächst wird dann "nur" gezeigt, dass zwei Geraden des Geradenbüschels den Büschelpunkt gemeinsam haben.

Welchen Schritt muss ich noch durchführen, dass ich zeige, dass der Büschelpunkt für alle Geraden des Geradenbüschels gilt?

Gegeben ist die Geradenschar  g (k)  mit  y  =  (1 - k) x  + 2k  - 1 ;   x ∈ ℝ

1)  Zeichne die Geraden  für  k  ∈  ( -0,5 ;  0;  1  ;  3)

-->   Hier würde ich mir 2 Punkte der 4 Punkte aussuchen, aber wie zeige ich es anschließend für alle Geraden?

2)  Bestimme die Gerade der Schar, die eine Ursprungsgerade ist.

3)  Bestimme die Gerade der Schar, die keinen Schnittpunkt mit der y-Achse hat. 

4)  Bestimme die Gerade, die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten verläuft. 

Dankeschön für die Beiträge.

Answer 1

Der Schnittpunkt zweier Geraden musste unabhängig vom Parameter sein. Wir können daher den Schnittpunkt zweier Geraden mit unterschiedlichem Parameter bestimmen:

(1 - k)x + 2k  - 1 = (1 - h)x + 2h  - 1
- kx + 2k = - hx + 2h
hx - kx = 2h - 2k
(h - k)x = 2(h - k)
x = 2

y = (1 - k)2 + 2k  - 1 = 2 - 2k + 2k - 1 = 1

Der Schnittpunkt der Geraden ist dann bei (2, 1)

Comments

Danke, und die Teilaufgaben 2 bis 4 ?

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2)  Bestimme die Gerade der Schar, die eine Ursprungsgerade ist.

y  =  (1 - k) x  + 2k  - 1

Hier einfach für x und für y Null einsetzen und nach k auflösen.

3)  Bestimme die Gerade der Schar, die keinen Schnittpunkt mit der y-Achse hat. 

Das wäre eine parallele zur Y-Achse. Die ist aber über einen Funktionsterm nicht darstellbar. Daher gibt es keine Gerade der Schar.

4)  Bestimme die Gerade, die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten verläuft. 

Hier soll die Steigung 1 sein. Die Steigung ist das was vor dem x steht. 

(1 - k) = 1

Für welches k ist das erfüllt?