Parameter ermitteln, damit Punkt in Ebene liegt

Question

Gegeben ist eine Ebene

$$\epsilon : x = a + \lambda v + \mu w, (\lambda, \mu) \in \mathbb{R} x \mathbb{R}$$

und die Aufgabe war, eine Zahl Alpha zu ermitteln, so dass der Punkt Q

$$q := \frac{1}{2}(a+v) + \alpha (w-a)$$

bei beliebiger Lage der Vektoren a, v und w in der Ebene liegt.

Ansatz/Problem:

Durch Nachdenken habe ich $$\alpha = - \frac{1}{2}$$ rausgekriegt, denn

$$\frac{1}{2} ( a +v ) + (-\frac{1}{2})(w-a) = a + \frac{1}{2} v + (-\frac{1}{2}) w$$

Ich frage mich aber, wie das rechnerisch funktioniert... Man kann ja $$\frac{1}{2} - \alpha = 1$$ lösen, aber wie man das genau macht, weiss ich jetzt nicht. Sollte ja mit Gleichungssystemen zusammenhängen. Die haben wir leider noch nicht gemacht (verflucht sei unsere Professorin! Da haben wir 1 1/2 Monate lang schon lineare Algebra und haben noch keine Gleichungssysteme durchgenommen!!).

Also kann mir vielleicht jemand den Hintergrund dazu ein wenig erklären, wie man solche Aufgaben in der Regel löst?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösung der Aufgabe

Um die gegebene Aufgabe systematisch zu lösen, betrachten wir zunächst die Vektordarstellung der Ebene und den gegebenen Punkt Q.

Die allgemeine Form der Ebene ist gegeben durch:
\( \epsilon : x = a + \lambda v + \mu w, \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)
wobei \(a, v, w\) bekannte Vektoren sind und \(\lambda, \mu\) Parameter der Ebene repräsentieren.

Der Punkt \(Q\) ist gegeben durch:
\( q := \frac{1}{2}(a+v) + \alpha (w-a) \)

Um zu überprüfen, ob der Punkt \(Q\) in der Ebene \(\epsilon\) liegt, müssen wir ihn in die Gleichung der Ebene einsetzen und prüfen, ob wir Werte für \(\lambda\) und \(\mu\) finden können, die die Gleichung erfüllen. Somit muss \(Q\) eine Linearkombination von \(a\), \(v\) und \(w\) sein, die der Gleichung der Ebene entspricht.

Setzen wir \(Q\) in die Gleichung der Ebene ein, erhalten wir:
\( a + \lambda v + \mu w = \frac{1}{2}(a+v) + \alpha (w-a) \)

Um zu zeigen, dass \(\alpha = - \frac{1}{2}\) die Anforderung erfüllt, ersetzen wir \(\alpha\) durch \(-\frac{1}{2}\):
\( \begin{aligned} a + \lambda v + \mu w & = \frac{1}{2}(a+v) + \left(-\frac{1}{2}\right) (w-a) \\ & = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}v - \frac{1}{2}w + \frac{1}{2}a \\ & = a + \frac{1}{2}v - \frac{1}{2}w \end{aligned} \)

Damit der Punkt \(Q\) in der Ebene liegt, können wir den Gleichungsteil rechts so umstellen, dass er der Form der Ebenengleichung entspricht. Wir sehen, dass dies erreicht wird, wenn wir \(\lambda = \frac{1}{2}\), \(\mu = -\frac{1}{2}\) setzen.

Rechnerischer Ansatz

Der Schlüssel liegt darin, zu beweisen, dass für jeden beliebigen Satz von Vektoren \(a\), \(v\), und \(w\) der Punkt \(Q\) sich als eine Linearkombination von \(a\), \(v\), und \(w\) unter Nutzung der gegebenen Koeffizienten \(\lambda = \frac{1}{2}\), \(\mu = -\frac{1}{2}\) darstellen lässt, was zeigt, dass \(\alpha = -\frac{1}{2}\) in der Tat die Bedingung erfüllt, dass \(Q\) in der Ebene \(\epsilon\) liegt.

Um diese Aufgaben allgemein zu lösen – insbesondere wenn man noch keine systematische Methode wie Gleichungssysteme kennengelernt hat –, hilft oft der Ansatz, die gegebenen Bedingungen Schritt für Schritt mit bekannten Eigenschaften (wie hier die Linearkombination) zu verbinden. Dieser Ansatz zeigt, dass ein tiefgehendes Verständnis der Vektoroperationen und ihre Relationen untereinander oft ausreicht, um derartige Probleme zu lösen, auch ohne direkt auf formalere Methoden wie das Lösen von Gleichungssystemen zurückzugreifen.