Punkt Z bestimmen damit er in Ebene liegt

Question

Aufgabe:

Welche Koordinate z muss der Punkt P1 = (2, 1, z) haben, damit er mit den Punkten P2 = (1, 1, 2), P3 = (−1, −1, 4) und P4 = (2, −2, 9) in einer Ebene liegt?

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein? :-)

Answer 1

Aloha :)

Wir stellen aus den Punkten $P_2$, $P_3$ und $P_4$ die Ebenengleichung auf:

$$\vec n=(\vec p_3-\vec p_2)\times(\vec p_4-\vec p_2)=\left(\begin{array}{c}-2\\-2\\2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}1\\-3\\7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\\16\\8\end{array}\right)=8\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)$$$$\vec n\cdot\vec p_2=8\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)=8\cdot3$$Daher lautet die Ebenengleichung:$$\vec n\cdot\vec x=24\quad\Leftrightarrow\quad\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)\cdot\vec x=3$$Da brauchen wir nur noch $P_1(2,1,z)$ einzusetzen:$$3=\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\1\\z\end{array}\right)=z\quad\Rightarrow\quad z=3$$

Answer 2

Parameterdarstellung der Ebene durch die Punkte $P_2$, $P_3$ und $P_4$ aufstellen:

        $\vec{x} = \vec{OP_2} + r\cdot\vec{P_2P_3} + s\cdot\vec{P_2P_4}$

Orstvektor des Punkte $P_1$ einsetzen:

        $\vec{OP_1} = \vec{OP_2} + r\cdot\vec{P_2P_3} + s\cdot\vec{P_2P_4}$

Gleichung lösen.