Aufgabe:
Welche Koordinate z muss der Punkt P1 = (2, 1, z) haben, damit er mit den Punkten P2 = (1, 1, 2), P3 = (−1, −1, 4) und P4 = (2, −2, 9) in einer Ebene liegt?
Problem/Ansatz:
Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein? :-)
Aloha :)
Wir stellen aus den Punkten P2P_2P2, P3P_3P3 und P4P_4P4 die Ebenengleichung auf:
n⃗=(p⃗3−p⃗2)×(p⃗4−p⃗2)=(−2−22)×(1−37)=(−8168)=8⋅(−121)\vec n=(\vec p_3-\vec p_2)\times(\vec p_4-\vec p_2)=\left(\begin{array}{c}-2\\-2\\2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}1\\-3\\7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\\16\\8\end{array}\right)=8\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)n=(p3−p2)×(p4−p2)=⎝⎛−2−22⎠⎞×⎝⎛1−37⎠⎞=⎝⎛−8168⎠⎞=8⋅⎝⎛−121⎠⎞n⃗⋅p⃗2=8⋅(−121)(112)=8⋅3\vec n\cdot\vec p_2=8\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)=8\cdot3n⋅p2=8⋅⎝⎛−121⎠⎞⎝⎛112⎠⎞=8⋅3Daher lautet die Ebenengleichung:n⃗⋅x⃗=24⇔(−121)⋅x⃗=3\vec n\cdot\vec x=24\quad\Leftrightarrow\quad\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)\cdot\vec x=3n⋅x=24⇔⎝⎛−121⎠⎞⋅x=3Da brauchen wir nur noch P1(2,1,z)P_1(2,1,z)P1(2,1,z) einzusetzen:3=(−121)⋅(21z)=z⇒z=33=\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\1\\z\end{array}\right)=z\quad\Rightarrow\quad z=33=⎝⎛−121⎠⎞⋅⎝⎛21z⎠⎞=z⇒z=3
Parameterdarstellung der Ebene durch die Punkte P2P_2P2, P3P_3P3 und P4P_4P4 aufstellen:
x⃗=OP2⃗+r⋅P2P3⃗+s⋅P2P4⃗ \vec{x} = \vec{OP_2} + r\cdot\vec{P_2P_3} + s\cdot\vec{P_2P_4} x=OP2+r⋅P2P3+s⋅P2P4
Orstvektor des Punkte P1P_1P1 einsetzen:
OP1⃗=OP2⃗+r⋅P2P3⃗+s⋅P2P4⃗ \vec{OP_1} = \vec{OP_2} + r\cdot\vec{P_2P_3} + s\cdot\vec{P_2P_4} OP1=OP2+r⋅P2P3+s⋅P2P4
Gleichung lösen.
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