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Aufgabe:

Welche Koordinate z muss der Punkt P1 = (2, 1, z) haben, damit er mit den Punkten P2 = (1, 1, 2), P3 = (−1, −1, 4) und P4 = (2, −2, 9) in einer Ebene liegt?


Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein? :-)

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Aloha :)

Wir stellen aus den Punkten P2P_2, P3P_3 und P4P_4 die Ebenengleichung auf:

n=(p3p2)×(p4p2)=(222)×(137)=(8168)=8(121)\vec n=(\vec p_3-\vec p_2)\times(\vec p_4-\vec p_2)=\left(\begin{array}{c}-2\\-2\\2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}1\\-3\\7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\\16\\8\end{array}\right)=8\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)np2=8(121)(112)=83\vec n\cdot\vec p_2=8\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right)=8\cdot3Daher lautet die Ebenengleichung:nx=24(121)x=3\vec n\cdot\vec x=24\quad\Leftrightarrow\quad\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)\cdot\vec x=3Da brauchen wir nur noch P1(2,1,z)P_1(2,1,z) einzusetzen:3=(121)(21z)=zz=33=\left(\begin{array}{c}-1\\2\\1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\1\\z\end{array}\right)=z\quad\Rightarrow\quad z=3

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Parameterdarstellung der Ebene durch die Punkte P2P_2, P3P_3 und P4P_4 aufstellen:

        x=OP2+rP2P3+sP2P4 \vec{x} = \vec{OP_2} + r\cdot\vec{P_2P_3} + s\cdot\vec{P_2P_4}

Orstvektor des Punkte P1P_1 einsetzen:

        OP1=OP2+rP2P3+sP2P4 \vec{OP_1} = \vec{OP_2} + r\cdot\vec{P_2P_3} + s\cdot\vec{P_2P_4}

Gleichung lösen.

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