Wie liegt ein Punkt P der nicht in der Ebene ist?

Question

Aufgabe: ein Parallelogramm ist gegeben .

Wie liegt ein Punkt P der nicht in der Ebene ist?

Problem/Ansatz:

Mündliche Prüfungen….

Wie könnte ich das erklären?

Comments

Außerhalb der Ebene liegt der Punkt P, der nicht in der Ebene liegt...

\( \overrightarrow{OP} \neq \overrightarrow{OA} + r \overrightarrow{AB} + s \overrightarrow{BC} \)

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Ich gehe mal davon aus, das Parallelogramm liegt in der Ebene? Allerdings ist das unwichtig.

Der Punkt liegt dann außerhalb bzw. ober- oder unterhalb der Ebene.

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bzw. ober- oder unterhalb der Ebene.

... sofern man herausgefunden hat, wo oben und wo unten ist.

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Es muss zwar nicht so sein, aber in der Schule und im kartesischen Koordinatensystem gibt die z-Koordinate die Höhe über der xy-Ebene an.

Answer 1

Wenn ein Parallelogramm gegeben ist, kann man eine Ebenengleichung aufstellen, in der das Parallelogramm liegt. Dazu nimmt man einen der Punkte als Stützvektor (also den Ortsvektor davon) und zwei Verbindungsvektoren zwischen den Vektoren als Spannvektoren.

Der Punkt \(P\) liegt jetzt genau dann in der Ebene, in der das Parallelogramm liegt, wenn der Ortsvektor des Punktes \(P\) die Ebenengleichung erfüllt. Du setzt für \(\vec{x}\) also einfach den Ortvektor von \(P\) ein und löst das Gleichungssystem.

Der Punkt \(P\) liegt genau dann im Parallelogramm, wenn die Parameter bei der Lösung des Gleichungssystems beide im Bereich von 0 bis 1 liegen (wenn man die Spannvektoren so wählt, dass sie vom Ortspunkt der Ebene ausgehen und man sie nicht kürzt oder verlängert).

Der Punkt \(P\) liegt nicht in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung nicht erfüllt, wenn das Gleichungssystem also keine Lösung hat.