Integral mittels Substitution via Kettenregel

Question

Aufgabe:

Berechne das Integral
\( \int \frac{1}{(1+x^2)^2}\)

Problem/Ansatz:

Mir ist die Substitution bekannt. Wenn man x=tan(x) substituiert, erhält man die Lösung. Ich sehe allerdings nicht, wie man auf die Substitution kommt, ausgehen von \( \int\ f(g(x))*g'(x)dx=F(y) \)
Beispiel was ich genau meine: \( \int cos(\sqrt{x})*1/\sqrt{x}dx \) . Hier ist es schön zu sehen.
g(x) = \( \sqrt{x} \) ; g'(x) = \(\frac{1}{2*\sqrt{x}} \); f(x) = cos(x).
Wie sieht das bei meinem Integral aus? Was ist f(x), und g(x)?

Comments

Die Substitution x=tan(x) kann nicht sein. Vielleicht klappt's mit f(x)=cos²(x) und g(x)=arctan(x).

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@Spacko vielen Dank. Ich kannte diese Identität nicht. Wenn du eine Antwort formulieren magst, kann ich dir "Beste" geben.

Answer 1

bemerke, dass \(\int_{}^{}\frac{1}{(1+x^2)^2}\,\mathrm{d}x=\int_{}^{}\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^2\,\mathrm{d}x\). Hierbei ist \({\displaystyle\int}\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\arctan(x)\)

Comments

g= arctan ==> f(g(x)) geht sich nicht aus

Answer 2

Aloha :)

Mit \(x=\tan u\) und \(\frac{dx}{du}=\frac{1}{\cos^2u}=1+\tan^2u\) reduziert sich das Integral zu:$$\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\,dx=\int\frac{1}{(1+\tan^2u)^2}\cdot(1+\tan^2u)du=\int\frac{du}{1+\tan^2u}$$$$\phantom{\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\,dx}=\int\cos^2u\,du$$Der Rest ist Gymnastik mit Winkelfunktionen:$$\int\cos^2u\,du=\int\left(\cos(2u)+\sin^2u\right)du=\frac{1}{2}\sin(2u)+\int\left(1-\cos^2u\right)\,du$$$$2\int\cos^2u\,du=\frac{1}{2}\sin(2u)+\int du$$$$\int\cos^2u\,du=\frac{1}{4}\sin(2u)+\frac{u}{2}=\frac{1}{2}\sin u\cos u+\frac{u}{2}=\frac{1}{2}\frac{\sin u}{\cos u}\cos^2 u+\frac{u}{2}$$$$\phantom{\int\cos^2u\,du}=\frac{1}{2}\frac{\tan u}{1+\tan^2u}+\frac{u}{2}$$$$\Rightarrow\quad\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\,dx=\frac{x}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2}\arctan x$$